a) Cách vẽ:
- Kẻ tia \(Ax\) bất kì khác tia \(AB, AC.\)
- Trên tia \(Ax,\) lấy hai điểm \(E\) và \(F\) sao cho \(AE = 2 (cm), EF = 3 (cm).\)
- Kẻ đường thẳng \(FB.\)
- Từ \(E\) kẻ đường thẳng song song với \(FB\) cắt \(AB\) tại \( M\).
- Kẻ đường thẳng \(FC\)
- Từ \(E\) kẻ đường thẳng song song với \(FC\) cắt \(AC\) tại \(N\).
Ta được hai điểm \(M, N\) cần dựng.
Chứng minh:
Trong tam giác \(AFB\) có \(EM // FB\) (theo cách vẽ)
Theo định lí Ta-lét, ta có:
\(\displaystyle{{AM} \over {MB}} = {{AE} \over {EF}} = {2 \over 3}\)
Trong tam giác \(AFC\) có \(EN // FC\) (theo cách vẽ)
Theo định lí Ta-lét, ta có:
\(\displaystyle {{AN} \over {NC}} = {{AE} \over {EF}} = {2 \over 3}\)
Vậy \(M, N\) là hai điểm cần tìm.
b) Trong tam giác \(ABC\) có \(\displaystyle{{AM} \over {MB}} = {{AN} \over {NC}} = {2 \over 3}\) nên theo định lí đảo của định lí Ta-lét thì \(MN // BC.\)
c) Gọi \(p’\) và \(S’\) là chu vi và diện tích của \(∆ AMN\).
Trong tam giác \(ABC\) có \(MN // BC\) nên \( ∆ AMN\) đồng dạng \(∆ ABC\) (c.g.c)
Ta có \(\displaystyle \frac{{AM}}{{MB}} = \frac{2}{3} \Rightarrow k=\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{2}{5}\)
Theo tính chất hai tam giác đồng dạng ta có:
\(\displaystyle {{p'} \over p} = {2 \over 5} = k\Rightarrow p' = {2 \over 5}p \)
\(\displaystyle {{S'} \over S}=k^2 = {\left( {{2 \over 5}} \right)^2} = {4 \over 25} \)
\(\displaystyle\Rightarrow S' = {4 \over 25}S .\)
