a) Trong \(∆ ABD\) ta có:
\(M\) là trung điểm của \(AB\)
\(Q\) là trung điểm của \(AD\)
nên \(MQ\) là đường trung bình của \(∆ ABD.\)
\(⇒ MQ // BD\) và \(MQ = \dfrac{1}{2}BD\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)
Trong \(∆ CBD\) ta có:
\(N\) là trung điểm của \(BC\)
\(P\) là trung điểm của \(CD\)
nên \(NP\) là đường trung bình của \(∆ CBD\)
\(⇒ NP // BD\) và \(NP = \dfrac{1}{2}BD\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(MQ // NP\) và \(MQ = NP\) nên tứ giác \(MNPQ\) là hình bình hành
\(AC ⊥ BD\) (gt)
\(MQ // BD\)
Suy ra: \(AC ⊥ MQ\)
Trong \(∆ ABC\) có \(MN\) là đường trung bình \(⇒ MN // AC\)
Suy ra: \(MN ⊥ MQ\) hay \(\widehat {NMQ} = 90^\circ \)
Vậy tứ giác \(MNPQ\) là hình chữ nhật.
b) Kẻ đường chéo \(MP\) và \(NQ\)
Trong \(∆ MNP\) ta có:
\(X\) là trung điểm của \(MN\)
\(Y\) là trung điểm của \(NP\)
nên \(XY\) là đường trung bình của \(∆ MNP\)
\(⇒ XY // MP\) và \(XY =\dfrac{1}{2} MP\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (3)
Trong \(∆ QMP\) ta có:
\(T\) là trung điểm của \(QM\)
\(Z\) là trung điểm của \(QP\)
nên \(TZ\) là đường trung bình của \(∆ QMP\)
\(⇒ TZ // MP\) và \(TZ = \dfrac{1}{2} MP\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (4)
Từ (3) và (4) suy ra: \(XY // TZ\) và \(XY = TZ\) nên tứ giác \(XYZT\) là hình bình hành.
Trong \(∆ MNQ\) ta có \(XT\) là đường trung bình
\(⇒ XT = \dfrac{1}{2}QN\) (tính chất đường trung bình của tam giác)
Tứ giác \(MNPQ\) là hình chữ nhật \(⇒ MP = NQ\)
Suy ra: \(XT = XY.\) Vậy tứ giác \(XYZT\) là hình thoi
\(S_{XYZT }= \dfrac{1}{2}XZ.TY\)
mà \(XZ = MQ = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{1}{2}.8 = 4\) \((cm);\)
\(TY = MN = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}.6 = 3\) \((cm)\)
Vậy : \(S_{XYZT} = \dfrac{1}{2}.3.4 = 6(c{m^2})\)
