a) Theo giả thiết \(D, E, F\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB, BC\) và \(CA\) nên \(DE, EF, FD\) là các đường trung bình của tam giác \(ABC.\) Do đó, ta có:
\(\displaystyle DE = {1 \over 2}AC,EF = {1 \over 2}AB,\) \(\displaystyle FD = {1 \over 2}BC\) (1)
Mặt khác, \(M\) là trung điểm của \(OA,\) \(P\) là trung điểm của \(OB,\) \(Q\) là trung điểm của \(OC,\) xét các tam giác \(OAB, OBC, OCA,\) ta cũng có:
\(\displaystyle MP = {1 \over 2}AB,PQ = {1 \over 2}BC,\) \(\displaystyle QM = {1 \over 2}AC.\) (2)
Từ đẳng thức (1) và (2), ta suy ra:
\(DE = QM, EF = MP, FD = PQ.\)
Do đó: \(\displaystyle {{DE} \over {QM}} = {{EF} \over {MP}} = {{FD} \over {PQ}} = 1\)
Vậy \(∆ DEF\) đồng dạng \(∆ QMP\) theo tỉ số đồng dạng \(k = 1\), trong đó \(D, E, F\) lần lượt tương ứng với các đỉnh \(Q, M, P.\)
b) Lục giác \(DPEQFM\) có các cặp cạnh đối bằng nhau từng đôi một:
\(DP = QF\) (vì cùng bằng \(\displaystyle {1 \over 2}OA);\)
\(PE = MF\) (vì cùng bằng \(\displaystyle {1 \over 2}OC)\)
\(EQ = MD\) (vì cùng bằng \(\displaystyle {1 \over 2}OB)\)
Lục giác \(DPEQFM\) có \(6\) cạnh bằng nhau chỉ khi \(DP = PE = EQ.\)
Muốn vậy, ta phải có \(OA = OB = OC\), khi đó \(O\) là điểm cách đều ba điểm \(A, B, C\).
Vậy \(O\) là giao điểm của ba đường trung trực tam giác \(ABC.\)
