Giả sử \(M\) là điểm chia đoạn \(AB\) sao cho \(AM>MB\) và \(AB\) có độ dài bằng \(a\).
Gọi độ dài của \(AM = x; 0 < x < a\). Khi đó \(MB = a - x\).
Theo đầu bài: \(\displaystyle{{AM} \over {AB}} = {{MB} \over {AM}}\) hay \(\displaystyle {x \over a} = {{a - x} \over x}\)
Giải phương trình: \(x^2 = a(a - x)\) hay \(x^2 + ax - a^2= 0\)
\(\Delta = a^2 + 4a^2= 5a^2 , \sqrt{\Delta}= a\sqrt{5}\)
Suy ra \(\displaystyle {x_1} = {{ - a + a\sqrt 5 } \over 2} = {{a(\sqrt 5 - 1)} \over 2},{x_2} = {{ - a(\sqrt 5 + 1)} \over 2}\)
Vì \(x > 0\) nên \({x_2}\) không thỏa mãn điều kiện của ẩn.
Vậy \(\displaystyle AM={{a(\sqrt 5 - 1)} \over 2}\)
Tỉ số cần tìm là: \(\displaystyle {{AM} \over {AB}} = {{\sqrt 5 - 1} \over 2}\)
