a) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC,\) ta có:
\(AM = MB =\) \(\eqalign{1 \over 2}BC = a\) (tính chất tam giác vuông) \(⇒ AM = MB = AB = a\)
nên \(∆ AMB\) đều ⇒ \(\widehat {ABC} = 60^\circ \)
Mặt khác : \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ \) (tính chất tam giác cân)
Suy ra: \(\widehat {ACB} = 90^\circ - \widehat {ABC}\) \(= 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \)
Trong tam giác vuông \(ABC,\) theo định lý Pi-ta-go ta có :
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\)
Suy ra: \(\eqalign{ A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} }\) \(= 4{a^2} - {a^2} = 3{a^2} \)
Hay \(AC = a\sqrt 3 \)
Do đó ta có diện tích \(∆ ABC\) là: \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC\) \(=\dfrac{1}{2}.a.a\sqrt 3=a^2\sqrt 3\)
b) Ta có : \(\widehat {FAB} = \widehat {ABC} = 60^\circ \)
\(⇒ FA // BC\) (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)
Suy ra: \(FA ⊥ BE\)
\(BC ⊥ CD\) (vì \(BCDE\) là hình vuông)
Suy ra: \(FA ⊥ CD\)
Gọi giao điểm \(BE\) và \(FA\) là \(H, FA\) và \(CG\) là \(K.\)
\( \Rightarrow BH \bot FA\)và \(FH = HA =\) \(\eqalign{a \over 2}\) (tính chất tam giác đều)
\(\widehat {ACG} + \widehat {ACB} + \widehat {BCD} \) \(= 60^\circ + 30^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)
\(⇒ G, C, D\) thẳng hàng
\(⇒ AK ⊥ CG\) và \(GK = KC\) \(= \eqalign{1 \over 2} GC \) = \(\eqalign{1 \over 2}AC \) \(= \eqalign{{a\sqrt 3 } \over 2}\)
\({S_{FAG}} = \eqalign{1 \over 2}GK.AF =\eqalign {1 \over 2}.\eqalign{{a\sqrt 3 } \over 2}.a \) \(=\eqalign {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\) (đvdt)
\({S_{FBE}} = \eqalign{1 \over 2}FH.BE =\eqalign {1 \over 2}.\eqalign{a \over 2}.2a \) \(= \eqalign{1 \over 2}{a^2}\) (đvdt)
c) \({S_{BCDE}} = B{C^2} = {\left( {2a} \right)^2} = 4{a^2}\) (đvdt)
Trong tam giác vuông \(BHA,\) theo định lý Pi-ta-go ta có:
\(\eqalign{ & A{H^2} + B{H^2} = A{B^2} }\) \( \Rightarrow B{H^2} = A{B^2} - A{H^2}\) \(= {a^2} - \eqalign{{{a^2}} \over 4} = \eqalign{{3{a^2}} \over 4} \) \(\Rightarrow BH = \eqalign{{a\sqrt 3 } \over 2} \)
\(\displaystyle {S_{ABF}} = {1 \over 2}BH.FA = \eqalign{1 \over 2}.\eqalign{{a\sqrt 3 } \over 2}.a \) \(= \eqalign{{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\) (đvdt)
Trong tam giác vuông \(AKC,\) theo định lý Pi-ta-go ta có:
\(A{C^2} = A{K^2} + K{C^2}\)
\(\eqalign{ \Rightarrow A{K^2} = A{C^2} - K{C^2}}\) \( {= 3{a^2} - \eqalign{{3{a^2}} \over 4} = \eqalign{{9{a^2}} \over 4}}\) \(\Rightarrow {AK = \eqalign{{3a} \over 2} } \)
\({S_{ACG}} = \eqalign{1 \over 2}AK.CG = \eqalign{1 \over 2}.\eqalign{{3a} \over 2}.a\sqrt 3 \) \(= \eqalign{{3{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\) (đvdt)
\({S_{DEFG}} = {S_{BCDE}} + {S_{FBE}} + {S_{FAB}} \) \(+ {S_{FAG}} + {S_{ACG}}\)
\( = 4{a^2} + \eqalign{{{a^2}} \over 2} + \eqalign{{{a^2}\sqrt 3 } \over 4} + \eqalign{{{a^2}\sqrt 3 } \over 4} \) \(+ \eqalign{{3{a^2}\sqrt 3 } \over 4} = \eqalign{{{a^2}} \over 4}\left( {18 + 5\sqrt 3 } \right)\) (đvdt)
