- Trường hợp tam giác vuông:
+) Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) thì \(BA ⊥ CA\) hay \(A\) là giao điểm của hai đường cao trong tam giác \(ABC\).
\( \Rightarrow\) \(A\) là trực tâm của tam giác.
Vậy trong tam giác vuông thì trực tâm trùng với đỉnh góc vuông.
+) Trường hợp tam giác tù:
Giả sử \(P\) nằm giữa \(A\) và \(B\), khi đó
\(\widehat {CAP} \equiv \widehat {CAB}\) là góc tù
Xét \(\Delta ACP\) có \(\widehat {CAP}\) tù; \(\widehat {CPA} = {90^o}\)
Suy ra: \(\widehat {CPA} + \widehat {CAP} > {180^o}\) (mâu thuẫn với định lí tổng \(3\) góc trong một tam giác)
Do đó \(P\) nằm ngoài \(A\) và \(B\).
\(⇒\) tia \(CP\) nằm ngoài tia \(CA\) và tia \(CB\)
\(⇒\) tia \(CP\) nằm bên ngoài \(ΔABC.\)
Tương tự ta có tia \(BK\) nằm bên ngoài \(ΔABC.\)
Trực tâm \(H\) là giao của \(BK\) và \(CP ⇒ H\) nằm bên ngoài \(ΔABC.\)
Vậy trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.
