Bài 58 trang 92 SGK Toán 8 tập 2

Cho tam giác cân \(ABC (AB = AC)\), vẽ các đường cao \(BH, CK\) (H.66).

a) Chứng minh \(BK = CH\).

b) Chứng minh \(KH//BC\).

c) Cho biết \(BC = a, AB = AC = b\). Tính độ dài đoạn thẳng \(HK\).

Hướng dẫn câu c):

- Vẽ thêm đường cao \(AI\), xét hai tam giác đồng dạng \(IAC\) và \(HBC\) rồi tính \(CH\).

- Tiếp theo, xét hai tam giác đồng dạng \(AKH\) và \(ABC\) rồi tính \(HK\).

 a) Xét hai tam giác vuông \(BKC\) và \(CHB\) có:

\(\widehat {KBC} = \widehat {HCB}\) (\(∆ABC\) cân tại \(A\))

\(BC\) là cạnh chung 

\( \Rightarrow ∆BKC = ∆CHB\) (cạnh huyền - góc nhọn)

\( \Rightarrow BK = CH\) (2 cạnh tương ứng)

b) Ta có : \(AK = AB - BK, AH = AC - HC\) (gt)

Mà \(AB = AC\) (\(∆ABC\) cân tại \(A\))

      \(BK = CH\) (chứng minh trên) 

\( \Rightarrow  AK = AH\)

Do đó : \(\dfrac{{AK}}{{AB}} = \dfrac{{AH}}{{AC}}\) \( \Rightarrow KH // BC\) (định lí Ta lét đảo)

c) \(BH\) cắt \(CK\) tại \(M\)

\( \Rightarrow M\) là trực tâm của \(∆ABC\) (định nghĩa trực tâm)

\( \Rightarrow AM ⊥ BC\) tại \(I\) (tính chất trực tâm)

Ta có : \(∆AIC ∽ ∆BHC \,(g-g)\) vì \(\left\{ {\matrix{{\widehat I = \widehat H = {{90}^0}} \cr {\widehat C\;chung} \cr} } \right.\)

\( \Rightarrow \dfrac{{IC}}{{HC}} = \dfrac{{AC}}{{BC}}\) (tính chất hai tam giác đồng dạng)