Dựng \(BG ⊥ AC.\)
Xét \(∆ BGA\) và \(∆ CEA\) có:
+) \(\widehat {BGA} = \widehat {CEA} = 90^\circ \)
+) \(\widehat A\) chung
\( \Rightarrow ∆ BGA\) đồng dạng \(∆ CEA \) (g.g)
\( \displaystyle\Rightarrow {{AB} \over {AC}} = {{AG} \over {AE}}\)
\(\Rightarrow AB.AE = AC.AG\) (1)
Vì \(AD//BC\) nên \(\widehat {BCG} = \widehat {CAF}\) (cặp góc so le trong)
Xét \(∆ BGC\) và \(∆ CFA\) có:
+) \(\widehat {BGC} = \widehat {CFA} = 90^\circ \)
+) \(\widehat {BCG} = \widehat {CAF}\) (cmt)
\(\Rightarrow ∆ BGC\) đồng dạng \(∆ CFA\) (g.g)
\( \displaystyle\Rightarrow {{AF} \over {CG}} = {{AC} \over {BC}}\)
\(\Rightarrow BC.AF = AC.CG\)
Mà \(BC = AD\) (vì \(ABCD\) là hình bình hành)
\(\Rightarrow AD.AF = AC.CG \) (2)
Cộng từng vế của đẳng thức (1) và (2) ta có:
\(AB.AE + AD.AF\)\(\, = AC.AG + AC.CG\)
\( \Rightarrow AB.AE + AD.AF \)\(\,= AC\left( {AG + CG} \right)\)
Lại có: \(AG + CG = AC\) nên \(AB.AE + AD.AF = A{C^2}\).
