\(a)\) \(A = {x^2} - 6x + 11\) \( = {x^2} - 2.3x + 9 + 2 \)
\(= {\left( {x - 3} \right)^2} + 2\)
Ta có: \({\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + 2 \ge 2\)
\( \Rightarrow A \ge 2\). Vậy \(A = 2\) là giá trị bé nhất của biểu thức khi \(x = 3\)
\(b)\) \( B= 2{x^2} + 10x – 1\)
\(=\displaystyle 2\left( {{x^2} + 5x - {1 \over 2}} \right)\)
\(=\displaystyle 2\left[ {x^2 + 2.{5 \over 2}x + {{\left( {{5 \over 2}} \right)}^2} - {{\left( {{5 \over 2}} \right)}^2} - {1 \over 2}} \right]\)
\(=\displaystyle 2\left[ {{{\left( {x + {5 \over 2}} \right)}^2} - {{25} \over 4} - {2 \over 4}} \right] \)
\(=\displaystyle 2\left[ {{{\left( {x + {5 \over 2}} \right)}^2} - {{27} \over 4}} \right]\)
\(=\displaystyle 2{\left( {x + {5 \over 2}} \right)^2} - {{27} \over 2} \)
Vì \(\displaystyle{\left( {x + {5 \over 2}} \right)^2} \ge 0 \)
\(\displaystyle\Rightarrow 2{\left( {x + {5 \over 2}} \right)^2} \ge 0\)
\( \displaystyle\Rightarrow 2{\left( {x + {5 \over 2}} \right)^2} - {{27} \over 2} \ge - {{27} \over 2}\)
\( \displaystyle\Rightarrow B \ge {{27} \over 2}\).
Vậy \( B=\displaystyle - {{27} \over 2}\) là giá trị nhỏ nhất khi \(x = \displaystyle - {5 \over 2}\)
\(c)\) \( C= 5x - {x^2}\) \( = - ({x^2} - 5x) \)
\(= \displaystyle - \left[ {{x^2} - 2.{5 \over 2}x + {{\left( {{5 \over 2}} \right)}^2} - {{\left( {{5 \over 2}} \right)}^2}} \right]\)
\( =\displaystyle - \left[ {{{\left( {x - {5 \over 2}} \right)}^2} - {{25} \over 4}} \right]\)
\( = \displaystyle - {\left( {x - {5 \over 2}} \right)^2} + {{25} \over 4}\)
Vì \(\displaystyle{\left( {x - {5 \over 2}} \right)^2} \ge 0 \)
\(\Rightarrow - \displaystyle{\left( {x - {5 \over 2}} \right)^2} \le 0 \)
\(\Rightarrow - \displaystyle {\left( {x - {5 \over 2}} \right)^2} + {{25} \over 4} \le {{25} \over 4}\)
\( \Rightarrow C \le \displaystyle {{25} \over 4}\).
Vậy \( C=\displaystyle {{25} \over 4}\) là giá trị lớn nhất khi \(x = \displaystyle{5 \over 2}\)
