Bài 59 trang 92 SGK Toán 8 tập 2

Hình thang \(ABCD \,(AB//CD)\) có \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(O, AD\) và \(BC\) cắt nhau tại \(K\). Chứng minh rằng \(OK\) đi qua trung điểm của các cạnh \(AB\) và \(CD\).

Qua \(O\) kẻ đường thẳng song song với \(AB, CD\) cắt \(AD, BC\) lần lượt tại \(E, F\).

Ta có: \(OE // DC\) (gt)

\( \Rightarrow \dfrac{{OE}}{{DC}} = \dfrac{{AO}}{{AC}}\left( 1 \right)\) (hệ quả của định lí TaLet)

\(OF // DC\) (gt)

\( \Rightarrow \dfrac{{OF}}{{DC}} = \dfrac{{BO}}{{BD}}\left( 2 \right)\) (hệ quả của định lí TaLet)

\(AB // DC\) (gt)

\( \Rightarrow \dfrac{{OA}}{{OC}} = \dfrac{{OB}}{{OD}}\) (hệ quả của định lí TaLet)

\(\eqalign{
& \Rightarrow {{OC} \over {OA}} = {{OB} \over {OD}} \cr
& \Rightarrow {{OC} \over {OA}} + 1 = {{OD} \over {OB}} + 1 \cr
& \Rightarrow {{OC + OA} \over {OA}} = {{OD + OB} \over {OB}} \cr
& \Rightarrow {{AC} \over {OA}} = {{BD} \over {OB}} \cr
& \Rightarrow {{OA} \over {AC}} = {{OB} \over {BD}}\,\,\,\,(3) \cr} \)

Từ (1), (2) và (3) ta có: 

\(\dfrac{{OE}}{{DC}} = \dfrac{{OF}}{{DC}} \Rightarrow OE = OF\)

Ta có: \(AB//EF\) (gt) áp dụng hệ quả của định lí TaLet ta có:

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \dfrac{{AN}}{{EO}} = \dfrac{{KN}}{{K{\rm{O}}}};\,\dfrac{{BN}}{{F{\rm{O}}}} = \dfrac{{KN}}{{K{\rm{O}}}}\\
\Rightarrow \dfrac{{AN}}{{EO}} = \dfrac{{BN}}{{F{\rm{O}}}} \\\text{Mà  } EO=FO\\ \Rightarrow AN = BN
\end{array}\)

\( \Rightarrow \) \(N\) là trung điểm của \(AB.\)

Tương tự ta có: \(EF // DC\) (gt) áp dụng hệ quả của định lí TaLet ta có:

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \dfrac{{EO}}{{DM}} = \dfrac{{KO}}{{K{\rm{M}}}};\,\dfrac{{FO}}{{C{\rm{M}}}} = \dfrac{{KO}}{{K{\rm{M}}}}\\
\Rightarrow \dfrac{{EO}}{{DM}} = \dfrac{{FO}}{{C{\rm{M}}}}\\\text{Mà  }EO=FO\\ \Rightarrow DM = CM
\end{array}\)

\( \Rightarrow M\) là trung điểm của \(CD\).

Vậy \(OK\) đi qua trung điểm của các cạnh \(AB\) và \(CD\).