Vế trái bất đẳng thức có thể viết là:
\(\begin{array}{l}\frac{{a + b}}{c} + \frac{{b + c}}{a} + \frac{{c + a}}{b} \\= \left( {\frac{a}{c} + \frac{b}{c}} \right) + \left( {\frac{b}{a} + \frac{c}{a}} \right) + \left( {\frac{c}{b} + \frac{a}{b}} \right)\\= \left( {\frac{a}{c} + \frac{c}{a}} \right) + \left( {\frac{b}{a} + \frac{a}{b}} \right) + \left( {\frac{c}{b} + \frac{b}{c}} \right).\end{array}\)
Ta biết với \(a, b, c > 0\) áp dụng bất đẳng thức cô-si ta có:
\(({a \over c} + {c \over a}) + ({b \over c} + {c \over b}) + ({b \over a} + {a \over b}) \)\(\ge 2.\sqrt {{a \over c}.{c \over a}} + 2.\sqrt {{b \over c}.{c \over b}} + 2.\sqrt {{b \over a}.{a \over b}} \\ = 2.1 + 2.1 + 2.1 = 6\)
Dấu \("="\) xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = c.\)
Vậy \({{a + b} \over c} + {{b + c} \over a} + {{c + a} \over b} \ge 6.\)
