Bài 6 trang 113 SGK Giải tích 12

Tính tích phân \(\int_{0}^{1}x(1-x)^{5}dx\) bằng hai phương pháp:

a) Đổi biến số: \(u = 1 - x\);

b) Tính tích phân từng phần.

a) Đặt \(u = 1 - x \Rightarrow x = 1 - u \Rightarrow dx = - du\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow u = 1\\x = 1 \Rightarrow u = 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_0^1 {x{{\left( {1 - x} \right)}^5}dx} = - \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right){u^5}du} \\= \int\limits_0^1 {\left( {{u^5} - {u^6}} \right)du} = \left. {\left( {\dfrac{{{u^6}}}{6} - \dfrac{{{u^7}}}{7}} \right)} \right|_0^1 = \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{7} = \dfrac{1}{{42}}\end{array}\)

b) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {\left( {1 - x} \right)^5}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = - \dfrac{{{{\left( {1 - x} \right)}^6}}}{6}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_0^1 {x\left( {1 - {x^5}} \right)dx} = - x\left. {\dfrac{{{{\left( {1 - x} \right)}^6}}}{6}} \right|_0^1 + \dfrac{1}{6}\int\limits_0^1 {{{\left( {1 - x} \right)}^6}dx} \\= - \dfrac{1}{6}\left. {\dfrac{{{{\left( {1 - x} \right)}^7}}}{7}} \right|_0^1 = \dfrac{1}{{42}}\end{array}\)