a)
\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = 2x\left( {x + 2} \right) - \left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)\\ = \left( {x + 2} \right)\left( {2x - x - 1} \right) \\= \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right).\end{array}\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x + 2 \ge 0\\
x - 1 \ge 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x + 2 \le 0\\
x - 1 \le 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 2\\
x \ge 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \le - 2\\
x \le 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
x \le - 2
\end{array} \right..
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) < 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x + 2 > 0\\
x - 1 < 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x + 2 < 0\\
x - 1 > 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x > - 2\\
x < 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x < - 2\\
x > 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow - 2 < x < 1.
\end{array}\)
Vậy \(f\left( x \right) \ge 0\) khi \(x \in \left( {0;\; - 2} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right).\)
\(f(x) < 0\) khi \(x \in \left( { - 2;\;1} \right).\)
b) Hàm số: \(y = 2x\left( {x + 2} \right) = 2{x^2} + 4x.\)
+) Tập xác định: R.
+) Đỉnh: \(\left( { - 1;\; - 2} \right).\)
+) Giao điểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ: \(\left( { - 2;\;0} \right),\;\left( {0;\;0} \right).\)
Ta có bảng biến thiên:
+) Xét hàm số \(y = \left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) = {x^2} + 3x + 2.\)
Bảng biến thiên
Đồ thị (C1) và (C2)
Hoành độ các giao điểm \(A\) và \(B\) của (C1) và (C2) là nghiệm của phương trình \(f(x) = 0 ⇔ x_1= -2, x_2= 1\)
\(⇔ A(-2; 0) , B(1; 6)\)
c) Theo đề bài ta có đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) đi qua A và B nên:
\(\left\{ \begin{array}{l}4x - 2b + c = 0\\a + b + c = 6\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b - 2\\c = 8 - 2b\end{array} \right.\;\;\;\;\left( 1 \right).\)
Để hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) đạt giá trị lớn nhất bằng 8 thì:
\(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\frac{{4ac - {b^2}}}{{4a}} = 8\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\4ac - {b^2} = 32b\;\;\;\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Thay (1) vào (2) ta có:
+) Với \(b = 0\) ta có: \(a = - 2,\;\;c = 8 \Rightarrow y = - 2{x^2} + 8.\)
+) Với \(b = \frac{{16}}{9}\) thì \(a = - \frac{2}{9},\;\;c = \frac{{40}}{9}\)\( \Rightarrow y = - \frac{2}{9}{x^2} + \frac{{16}}{9}x + \frac{{40}}{9}.\)
