Bài 6 trang 26 SGK Hình học 12

Cho hình chóp tam giác \(S.ABC\) có cạnh \(AB\) bằng \(a\). Các cạnh bên \(SA, SB, SC\) tạo với đáy một góc \(60^0\). Gọi \(D\) là giao điểm của \(SA\) với mặt phẳng qua \(BC\) và vuông góc với \(SA\).

a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp \(S.DBC\) và \(S.ABC\).

b) Tính thể tích của khối chóp \(S.DBC\).

Lời giải

a)

Vì hình chóp \(\displaystyle S.ABC\) là hình chóp đều nên chân đường cao \(\displaystyle H\) là tâm của đường tròn ngoại tiếp đáy, theo giả thiết, ta có: góc \(\displaystyle SAH = 60^0\). Gọi \(\displaystyle M\) là trung điểm của cạnh \(\displaystyle BC\) thì \(\displaystyle AM\) là đường cao của tam giác đều \(\displaystyle ABC\):

\(\displaystyle AM = {{a\sqrt 3 } \over 2}\)

\(\displaystyle AH = {2 \over 3}.AM = {{a\sqrt 3 } \over 3}\)

\(\displaystyle SA = {{AH} \over {c{\rm{os}}{{60}^0}}}\) = \(\displaystyle {{2a\sqrt 3 } \over 3}=SB\)

Xét tam giác vuông SBM ta có: \(\displaystyle SM = \sqrt {S{B^2} - B{M^2}}  = \frac{{a\sqrt {39} }}{6}\).

Qua B kẻ \(\displaystyle BD \bot SA\), khi đó ta có: 

\(\displaystyle \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SA\\\left\{ \begin{array}{l}SA \bot BC\\SA \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {BCD} \right)\end{array}\)

Khi đó mặt phẳng (BCD) đi qua BC và vuông góc với SA.

\(\displaystyle SA \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow SA \bot DM\)

Xét tam giác vuông ADM có: \(\displaystyle DM = AM.\sin 60 = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a}}{4}\)

Xét tam giác vuông SDM có: \(\displaystyle SD = \sqrt {S{M^2} - D{M^2}}  = \frac{{5\sqrt 3 }}{{12}}a\)

Áp dụng công thức tỉ số thể tích trong bài tập 4, 3 (trang 37 SGK) ta được:

\(\displaystyle {{{V_{S.DBC}}} \over {{V_{S.ABC}}}} = {{SD} \over {SA}}.{{SB} \over {SB}}.{{SC} \over {SC}} \) \(\displaystyle = {{5a\sqrt 3 } \over {12}}:{{2a\sqrt 3 } \over 3} = {5 \over 8}\)

 b) Ta có: \(\displaystyle S_{ABC}\) = \(\displaystyle {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\);    \(\displaystyle SH = AH.tan60^0 = a\)

\(\displaystyle \Rightarrow {V_{S.ABC}} = {1 \over 3}.SH.{S_{ABC}}\) \(\displaystyle  \Rightarrow {V_{S.ABC}} = {{{a^3}\sqrt 3 } \over {12}}\)

Từ kết quả câu a) ta có:

\(\displaystyle {V_{S.DBC}} = {5 \over 8}.{V_{S.ABC}}\) \(\displaystyle  \Rightarrow {V_{S.BDC}} = {5 \over 8}.{{{a^3}\sqrt 3 } \over {12}}\)

\(\displaystyle  \Rightarrow {V_{S.DBC}} = {{5{a^3}\sqrt 3 } \over {96}}\)


Bài Tập và lời giải

Trả lời câu hỏi 1 Bài 9 trang 81 SGK Toán 7 Tập 2

Đề bài

Dùng eke vẽ \(3\) đường cao của tam giác \(ABC.\)

Hãy cho biết ba đường cao của tam giác đó có cùng đi qua một điểm hay không.

Xem lời giải

Trả lời câu hỏi 2 Bài 9 trang 82 SGK Toán 7 Tập 2

Đề bài

Hãy phát biểu và chứng minh các trường hợp còn lại của nhận xét trên (xem như những bài tập).

 

Xem lời giải

Bài 58 trang 83 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Hãy giải thích tại sao trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm của tam giác tù nằm ngoài tam giác.

Xem lời giải

Bài 59 trang 83 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho hình \(57\).

 

a) Chứng minh \(NS ⊥ LM\)

b) Khi \(\widehat{LNP} ={50^0}\), hãy tính góc \(MSP\) và góc \(PSQ.\)

Xem lời giải

Bài 60 trang 83 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Trên đường thẳng \(d\), lấy ba điểm phân biệt  \(I, J, K\) (\(J\) ở giữa \(I\) và \(K\))

Kẻ đường thẳng \(l\) vuông góc với \(d\) tại \(J\), trên \(l\) lấy điểm \(M\) khác với điểm \(J\). Đường thẳng qua \(I\) vuông góc với \(MK\) cắt \(l\) tại \(N\). Chứng minh rằng \(KN ⊥ IM.\)

Xem lời giải

Bài 61 trang 83 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) không vuông. Gọi \(H\) là trực tâm của nó.

a) Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác \(HBC.\) Từ đó hãy chỉ ta trực tâm của tam giác đó.

b) Tương tự, hãy lần lượt chỉ ra trực tâm của các tam giác \(HAB, HAC.\)

Xem lời giải

Bài 62 trang 83 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Chứng minh rằng một tam giác có hai đường cao (xuất phát từ các đỉnh của hai góc nhọn) bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. Từ đó suy ra một tam giác có ba đường cao bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.

Xem lời giải

Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 1 - Bài 9 - Chương 3 – Hình học 7

Đề bài

Cho tam giác ABC (AB = AC), hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H (E thuộc AC và F thuộc AB). Tia AH cắt BC ở I. Chứng minh:

a) I là trung điểm của BC.

b) \(\Delta IEF\) cân.

Xem lời giải

Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 2 - Bài 9 - Chương 3 – Hình học 7

Đề bài

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, hai đường cao BH và CK. Trên tia đối của tia BH lấy D sao cho \(BD = AC\), trên tia đối của tia CK lấy điểm E sao cho \(CE = AB\). Chứng minh \(\Delta A{\rm{D}}E\) vuông cân.

Xem lời giải

Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 3 - Bài 9 - Chương 3 - Hình học 7

Đề bài

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (\(AB < AC\)), đường cao AD.

a) So sánh \(\widehat {BA{\rm{D}}}\) và \(\widehat {DAC}\); so sánh DC và DB.

b) Lấy H thuộc đoạn thẳng DC, vẽ HK vuông góc với AC (K thuộc AC). Gọi E là giao điểm của AD và HK. Chứng minh \(AH \bot EC\).  

Xem lời giải

Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 4 - Bài 9 - Chương 3 – Hình học 7

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BE vẽ EH vuông góc với BC (H thuộc BC).

a) Chứng minh: \(\Delta ABE = \Delta HBE\).

b) Đường thẳng BA cắt đường thẳng HE tại K. Gọi M là trung điểm của CK. Chứng minh B, E, M thẳng hàng.

Xem lời giải

Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 5 - Bài 9 - Chương 3 – Hình học 7

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, phân giác AD. Gọi I là giao điểm các đường phân giác của \(\Delta AHB\) và J là giao điểm các đường phân giác của \(\Delta AHC\) . Gọi E là giao điểm của các đường thẳng BI và AJ. Chứng minh rằng:

a) \(\Delta ABE\) là tam giác vuông;

b) \(IJ \bot A{\rm{D}}.\)

Xem lời giải