Ta có: \(\displaystyle {a \over b} = {{a{\rm{d}}} \over {b{\rm{d}}}};{c \over d} = {{bc} \over {b{\rm{d}}}}\)
Vì \(b>0, d > 0 \Rightarrow bd > 0\).
Mà \(\displaystyle {a \over b} < {c \over d}\) nên \(\displaystyle {{a{\rm{d}}} \over {b{\rm{d}}}} < {{bc} \over {b{\rm{d}}}}\) \( \Rightarrow ad < bc\) (vì \(bd>0\)) (1)
Cộng vào hai vế của (1) với \(ab\) ta được:
\(a{\rm{d}} + ab < bc + ab \)
\(\Rightarrow a\left( {b + d} \right) < b\left( {a + c} \right) \) (*)
Chia cả hai vế (*) với \(b(b+d)\) ta được:
\( \displaystyle {a \over b} < {{a + c} \over {b + d}}\) (2)
Cộng vào hai vế của (1) với \(cd\) ta được:
\(a{\rm{d}} + c{\rm{d}} < bc + c{\rm{d}}\)
\(\Rightarrow d\left( {a + c} \right) < c\left( {b + d} \right)\) (2*)
Chia cả hai vế (2*) với \(d(b+d)\) ta được:
\( \displaystyle {{a + c} \over {b + d}} < {c \over d}\) (3)
Từ (2) và (3) suy ra: \(\displaystyle {a \over b} < {{a + c} \over {b + d}} < {c \over d}\)
b) Áp dụng câu a) ta có:
\(\displaystyle {{ - 1} \over 3} < {{ - 1} \over 4}\)
\(\displaystyle \Rightarrow {{ - 1} \over 3} < {{ - 1 + ( - 1)} \over {3 + 4}} = {{ - 2} \over 7} < {{ - 1} \over 4}\)
\(\displaystyle {{ - 1} \over 3} < {{ - 2} \over 7}\)
\(\displaystyle \Rightarrow {{ - 1} \over 3} < {{ - 1 + ( - 2)} \over {3 + 7}} = {{ - 3} \over {10}} < {{ - 2} \over 7}\)
\(\displaystyle {{ - 1} \over 3} < {{ - 3} \over {10}} \)
\(\displaystyle \Rightarrow {{ - 1} \over 3} < {{ - 1 + ( - 3)} \over {3 + 10}} = {{ - 4} \over {13}} < {{ - 3} \over {10}}\)
Vậy \(\displaystyle {{ - 1} \over 3} < {{ - 4} \over {13}} < {{ - 3} \over {10}} < {{ - 2} \over 7} < {{ - 1} \over 4}\).
