Bài 6. Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể
Bài Tập và lời giải
Bài 29. Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng \(x = -1\) và \(x = 1\), biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x( - 1 \le x \le 1)\) là một hình vuông cạnh là \(2\sqrt {1 - {x^2}} \).
Bài 30. Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng \(x = 0\) và \(x = \pi \), biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\;(0 \le x \le \pi )\) là một tam giác đều cạnh \(2\sqrt {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \).
& \sqrt x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \cr
& V = \pi \int\limits_1^4 {{{(\sqrt x - 1)}^2}} dx = \pi \int\limits_1^4 {(x - 2\sqrt x } + 1)dx = \left. {\pi \left( {{{{x^2}} \over 2} - {4 \over 3}x\sqrt x + x} \right)} \right|_1^4 = {{7\pi } \over 6} \cr} \)loigiaihay.com
Bài 32. Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường \(x = {2 \over y},y = 1\) và \(y=4\). Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung.
Bài 33. Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường \(x = \sqrt 5 {y^2},x = 0,y = - 1\) và \(y = 1\). Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung.
Bài 35. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
a) Đồ thị hai hàm số \(y = {x^2} + 1\) và \(y = 3 – x\).b) Các đường có phương trình \(x = {y^3}\), \(y = 1\), và \(x = 8\).c) Đồ thị của hàm số \(y = \sqrt x ,y = 6 - x\) và trục hoành.
& S(x) = {(2\sqrt {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} )^2} = 4\sin x \cr
& V = \int\limits_0^\pi {S(x)dx = \int\limits_0^\pi {4\sin xdx = - 4\cos x\mathop |\nolimits_0^\pi } } = 8 \cr} \)loigiaihay.com
Bài 37. Cho hình phẳng \(A\) giới hạn bởi các đường \(y = {x^2},x = 0\) và \(x = 2\). Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình \(A\) quanh trục hoành.
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.GiảiTa có:\(\eqalign{
& V = \pi \int\limits_0^{{\pi \over 4}} {{{\cos }^2}xdx = {\pi \over 2}\int\limits_0^{{\pi \over 4}} {(1 + \cos 2x)dx} } \cr
& = {\pi \over 2}\left. {\left( {x + {1 \over 2}\sin 2x} \right)} \right|_0^{{\pi \over 4}} = {\pi \over 2}\left( {{\pi \over 4} + {1 \over 2}} \right) = {{\pi (\pi + 2)} \over 8} \cr} \)loigiaihay.com
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.GiảiTa có: \(V = \pi \int\limits_0^1 {{x^2}{e^x}dx} \). Đặt \(\left\{ \matrix{
u = {x^2} \hfill \cr
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = 2xdx \hfill \cr
v = {e^x} \hfill \cr} \right.\)\(V = \pi \left( {{x^2}{e^x}\mathop |\nolimits_0^1 - 2\int\limits_0^1 {x{e^x}dx} } \right) = \pi \left( {e - 2{I_1}} \right)\)Với \({I_1} = \int\limits_0^1 {x{e^x}dx} \). Đặt \(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = {e^x} \hfill \cr} \right.\)Do đó \({I_1} = x{e^x}\mathop |\nolimits_0^1 - \int\limits_0^1 {{e^x}dx = e - {e^x}\mathop |\nolimits_0^1 } = 1\). Vậy \(V = \pi \left( {e - 2} \right).\)loigiaihay.com
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung.GiảiTa có: \(V = \pi \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {2\sin 2ydy = - \pi \cos 2y\mathop |\nolimits_0^{{\pi \over 2}} } = 2\pi \)loigiaihay.com
Bài 34. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
Đồ thị các hàm số \(y = x, y = 1\) và \(y = {{{x^2}} \over 4}\) trong miền \(x \ge 0,y \le 1.\)
b) Đồ thị hai hàm số \(y = {x^4} - 4{x^2} + 4,y = {x^2}\), trục tung và đường thẳng \(x = 1\)
c) Đồ thị các hàm số \(y = {x^2},y = 4x - 4\) và \(y = -4x – 4\).
