Chứng minh thuận:
Đường tròn \((O)\) cho trước, điểm \(A \)cố định nên \(OA\) có độ dài không đổi.
\(∆OBC\) cân tại \(O\) (vì \(OB = OC\) bán kính)
\( IB = IC \;\;(gt)\) nên \(OI\) là đường trung tuyến vừa là đường cao
\( \Rightarrow OI ⊥ BC\)
\( \Rightarrow \widehat {OIA} = 90^\circ \)
Đường thẳng \(d\) thay đổi nên \(B, C\) thay đổi thì \(I\) thay đổi tạo với \(2\) đầu đoạn \(OA\) cố định góc \(\widehat {OIA} = 90^\circ \). Vậy \(I\) chuyển động trên đường tròn đường kính \(OA.\)
Chứng minh đảo:
Lấy điểm \(I’\) bất kỳ trên đường tròn đường kính \(AO.\) Đường thẳng \(AI’\) cắt đường tròn (O) tại \(2\) điểm \(B’\) và \(C’.\)
Ta chứng minh: \(I’B = I’C’.\)
Trong đường tròn đường kính \(AO\) ta có \(\widehat {OI'A} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\( \Rightarrow OI'⊥ B'C'\)
\( \Rightarrow I'B' = I'C' \) (đường kính vuông góc với dây cung)
Vậy quỹ tích các điểm \(I\) là trung điểm của dây \(BC\) của đường tròn tâm \(O\) khi \(BC\) quay xung quanh điểm \(A\) cố định là đường tròn đường kính \(AO.\)
