a) Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\displaystyle AO = CO = {1 \over 2}AC\)
\(BE\) là trung tuyến của tam giác \(ABO\) nên \(\displaystyle AE = {1 \over 2}AO\)
Mặt khác, \( AC = 2AB \) (gt) nên \(AB = AO\) do đó \(\displaystyle AE = {1 \over 2}AB\)
Xét \(\Delta AEB\) và \(\Delta ABC\) có:
\(\widehat A\) chung
\(\displaystyle {{AE} \over {AB}} = {{AB} \over {AC}} = {1 \over 2}\)
\( \Rightarrow ∆ AEB\) đồng dạng \(∆ ABC\) (c.g.c)
\( \Rightarrow \widehat {ABE} = \widehat {ACB}\) (hai góc tương ứng).
b) Theo chứng minh ở câu a) \(∆ AEB\) đồng dạng \(∆ ABC\) theo tỉ số \(\displaystyle k = {1 \over 2}\) nên ta có \(\displaystyle BE = {1 \over 2}BC\) hay \(\displaystyle BE = BM={1 \over 2}BC\) (vì \(M\) là trung điểm của \(BC\))
\( \Rightarrow ∆ BEM\) cân tại \(B.\)
Xét \(∆EBC \) có \(\displaystyle {{BE} \over {BC}} = {{OE} \over {OC}} = {1 \over 2}\)
\( \Rightarrow BO \) là đường phân giác góc \(EBC\).
\(BO\) là đường phân giác góc \(EBC\) đỉnh của tam giác cân \(BEM\) nên \(BO\) đồng thời là đường cao vuông góc với cạnh đáy \(EM\).
Vậy \(EM\bot \,BD\).
