Trong \(∆ABC\) ta lấy điểm \(M.\) Nối \(MA, MB, MC.\)
Ta cần làm xuất hiện tổng \(MA + MB + MC\) sau đó tìm điều kiện để tổng đó nhỏ nhất.
Lấy \(MC\) làm cạnh dựng trên nửa mặt phẳng bờ \(BC\) chứa điểm \(A\) tam giác đều \(MCN.\) Suy ra: \(CM = MN.\)
Lấy \(AC\) làm cạnh dựng trên nửa mặt phẳng bờ \(AC\) không chứa điểm \(B\) tam giác đều \(APC.\)
Xét \(∆AMC\) và \(∆PNC:\)
\(CM = CN\) (vì \(∆MCN\) đều)
\( CA = CP\) (vì \(∆APC\) đều)
\(\widehat {MCA} + \widehat {ACN} = 60^\circ \)
\(\widehat {ACN} + \widehat {NCP} = 60^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat {MCA} = \widehat {NCP}\)
Suy ra: \(∆AMC = ∆PNC\;\; (c.g.c)\)
\( \Rightarrow PN = AM\)
\( MA + MB + MC = NP + MB + MN\)
Ta có \(∆ABC\) cho trước nên điểm \(P\) cố định nên \(BM + MN + NP\) ngắn nhất khi \(4\) điểm \(B, M, N, P\) thẳng hàng.
Vì \(\widehat {CMN} = 60^\circ \) nên \(3\) điểm \(B, M, N\) thẳng hàng khi và chỉ khi \(\widehat {BMC} = 120^\circ \)
Vì \(\widehat {CNM} = 60^\circ \) nên \(3\) điểm \(M, N, P\) thẳng hàng khi và chỉ khi \(\widehat {CNP} = 120^\circ \)
Mà \(∆AMC = ∆PNC\) (chứng minh trên) \( \Rightarrow \widehat {AMC} = \widehat {PNC} = 120^\circ \)
Vậy \(MA + MB + MC\) bé nhất khi và chỉ khi \(\widehat {BMC} = 120^\circ \) và \(\widehat {AMC} = 120^\circ \)
Vậy \(M\) là giao điểm của \(2\) cung chứa góc \(120^\circ \) dựng trên \(BC\) và \(AC.\)
