a) Ta có: \( \displaystyle{{\left( {x\sqrt y + y\sqrt x } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)} \over {\sqrt {xy} }}\)\(\displaystyle = {{\left( {\sqrt {{x^2}y} + \sqrt {x{y^2}} } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)} \over {\sqrt {xy} }}\)
\( \displaystyle = {{\sqrt {xy} \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)} \over {\sqrt {xy} }}\)\(\displaystyle = \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\)
\( \displaystyle = {\left( {\sqrt x } \right)^2} - {\left( {\sqrt y } \right)^2} = x - y\)
(với \(x > 0\) và \(y > 0\))
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
b) Vì \(x > 0\) nên \( \displaystyle\sqrt {{x^3}} = {\left( {\sqrt x } \right)^3}\)
Ta có:\( \displaystyle{{\sqrt {{x^3}} - 1} \over {\sqrt x - 1}} = {{{{\left( {\sqrt x } \right)}^3} - {1^3}} \over {\sqrt x - 1}}\)\(\displaystyle = {{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)} \over {\sqrt x - 1}}\)\( \displaystyle = x + \sqrt x + 1\) với \(x \ge 0\) và \( x \ne 1\).
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
