Bài 63 trang 87 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hai điểm \(A, B\) thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(xy\) (\(AB\) không vuông góc với \(xy\)). Gọi \(A’\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(xy,\) \(C\) là giao điểm của \(A’B\) và \(xy.\) Gọi \(M\) là điểm bất kì khác \(C\) thuộc đường thẳng \(xy.\) Chứng minh rằng \(AC + CB < AM + MB.\)

Vì \(A’\) đối xứng với \(A\) qua \(xy\)

\(⇒ xy\) là đường trung trực của \(AA’\)

\(⇒ CA’ = CA\) (tính chất đường trung trực)

\(MA = MA’\)(tính chất đường trung trực)

\(AC + CB = A’C + CB = A’B\;\; (1)\)

\(MA + MB = MA’ + MB       \;\;  (2)\)

Trong \(∆ MA’B\) ta có:

\(A’B < A’M + MB\) (bất đẳng thức tam giác) \((3)\)

Từ \((1),\) \((2)\) và \((3)\) suy ra: \(AC + CB < AM + MB\)