a) Xét \(∆ADE\) và \(∆CFE\) có:
\(AE = CE\) (gt)
\(\widehat {A{\rm{ED}}} = \widehat {{\rm{CEF}}}\) (đối đỉnh)
\(DE = FE\) (gt)
\( \Rightarrow ∆ADE = ∆CFE\) (c.g.c)
\( \Rightarrow AD = CF\) (hai cạnh tương ứng)
Mà \(AD = DB\) (vì \(D\) là trung điểm của \(AB\))
Vậy \(DB = CF\)
b) Ta có: \(∆ADE = ∆CFE\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow \widehat {A{\rm{D}}E} = \widehat {CF{\rm{E}}}\) (hai góc tương ứng)
\( \Rightarrow AD // CF\) (vì có cặp góc so le trong \(\widehat {A{\rm{D}}E} = \widehat {CF{\rm{E}}}\) )
Hay \(AB // CF\).
Xét \(∆DBC\) và \(∆CFD\) có:
\(BD = CF\) (chứng minh trên)
\(\widehat {B{\rm{D}}C} = \widehat {FC{\rm{D}}}\) (hai góc so le trong, \(CF // AB\))
\(DC \) cạnh chung
\( \Rightarrow ∆DBC = ∆CFD\) (c. g. c)
c) Ta có: \( ∆DBC = ∆CFD\) (chứng minh trên)
\(\Rightarrow \widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}}\) (hai góc tương ứng)
\(\Rightarrow DE // BC\) (vì có hai góc so le trong \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}}\))
\(∆DBC = ∆CFD \) \( \Rightarrow BC = DF\) (hai cạnh tương ứng)
Mà \(\displaystyle {\rm{D}}E = {1 \over 2}DF\) (vì \(E\) là trung điểm của \(DF\)).
Vậy \(\displaystyle {\rm{D}}E = {1 \over 2}BC\).
