Từ \(N\) kẻ đường thẳng song song với \(AB \) cắt \(BC\) tại \(K.\) Nối \(EK.\)
Xét \(∆BEK\) và \(∆NKE\) có:
\(\widehat {EKB} = \widehat {KEN}\) (so le trong, \(EN // BC\))
\(EK\) cạnh chung
\(\widehat {BEK} = \widehat {NKE}\) (so le trong, \(NK // AB\))
\( \Rightarrow ∆BEK = ∆NKE\) (g.c.g)
\( \Rightarrow BE = NK; BK= NE\) (các cạnh tương ứng)
Vì \(DM//BC\) nên \(\widehat {A{\rm{D}}M} =\widehat B\) (hai góc đồng vị)
Vì \(NK//AB\) nên \(\widehat B= \widehat {NKC}\) (hai góc đồng vị)
\( \Rightarrow \widehat {A{\rm{D}}M} = \widehat {NKC}\)
Xét \(∆ADM\) và \(∆NKC\) có:
\(\widehat A = \widehat {KNC}\) (hai góc đồng vị, \(NK // AB\))
\(AD = NK\) (vì cùng bằng \(BE\))
\(\widehat {A{\rm{D}}M} = \widehat {NKC}\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow ∆ADM = ∆NKC \) (g.c.g)
\( \Rightarrow DM = KC\) (hai cạnh tương ứng)
Mà \(BC = BK + KC\) suy ra \(BC = EN + DM\).
