Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\)
a) Kẻ đường trung trực của \(AC\) cắt \(BC\) tại \(K.\)
Nối \(AK.\)
Suy ra \(AK = KC\) (tính chất đường trung trực)
Nên \(∆KAC\) cân tại \(K\)
\( \Rightarrow \widehat {K{\rm{A}}C} = \widehat C\) (1)
\(\widehat C + \widehat B = 90^\circ \) (tính chất tam giác vuông) (2)
\(\widehat {K{\rm{A}}C} + \widehat {K{\rm{A}}B} = \widehat {BAC} = 90^\circ \) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {K{\rm{A}}B} = \widehat B\)
\(\Rightarrow ∆KAB \) cân tại \(K\)
\( \Rightarrow KA = KB\)
Nên \(K\) thuộc đường trung trực của \(AB\)
Suy ra \(K\) là giao điểm ba đường trung trực của \(∆ABC\)
Suy ra:\( KB = KC = KA\)
Nên \(K\) là trung điểm của \(BC\)
Vậy các đường trung trực của tam giác vuông đi qua trung điểm cạnh huyền.
b) Theo chứng minh ở câu a) trung điểm \(K\) của \(BC\) có tính chất \(KB=KC=KA.\)
Do đó \(KA = \dfrac{1}{2}BC\)
Vậy trong tam giác vuông trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
