Gọi \(O\) là nơi phải đặt nhà máy. \(A, B, C, D\) lần lượt là bốn điểm dân cư.
Tổng khoảng cách từ nhà máy đến \(4\) khu dân cư là: \(OA + OB + OC + OD.\)
Ta có:
+ Nếu \(O\) nằm trên đoạn \(AC\) thì \(\left. {\matrix{ {OA + OC = AC} \cr {OB + OC > BD} \cr } } \right\} \)\( \Rightarrow OA + OB + OC + OD > AC \)\(+ BD\)
+ Nếu \(O\) nằm trên đoạn \(BD\) thì \(\left. {\matrix{ {OB + OD = BD} \cr {OA + OC > AC} \cr } } \right\} \)\( \Rightarrow OA + OB + OC + OD > AC \)\(+ BD\)
+ Nếu \(O\) không nằm trên \(AC\) và \(BD\) thì \(\left. {\matrix{ {OA + OC > AC} \cr {OB + OD > BD} \cr } } \right\} \)\(\Rightarrow \; OA + OB + OC + OD > AC \)\(+ BD\)
+ Nếu \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\) thì \(OA + OB + OC + OD = AC + BD\)
- Vậy khi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\) thì tổng khoảng cách từ nhà nhà máy này đến các khu dân cư là ngắn nhất.
