a) Gọi hình chữ nhật có chiều dài \(a\) và chiều rộng \(b\) (với \(a>b>0\))
Các hình chữ nhật có cùng chu vi thì \(C = 2.(a + b)\) không đổi hay \((a + b)\) không đổi.
Diện tích của hình chữ nhật \(S=a.b\)
Suy ra: \(\displaystyle{{a + b} \over 2}\) không đổi.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
\( \displaystyle \displaystyle{{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \)
\( \displaystyle\begin{array}{l}
\Leftrightarrow ab \le {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^2}\\
\Leftrightarrow S \le {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^2}
\end{array}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b.\) Hay hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau nên nó là hình vuông.
Vậy để \( \Leftrightarrow {S_{\max }} = {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^2}\) thì hình chữ nhật là hình vuông.
Điều này cho thấy trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất.
b) Các hình chữ nhật có cùng diện tích \(S=a.b\) thì \(a.b\) không đổi.
Từ bất đẳng thức:
\( \displaystyle{{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \)
\( \Leftrightarrow a + b \le 2\sqrt {ab} \)
\( \Leftrightarrow 2.(a + b) \le 4\sqrt {ab} \)
\( \Leftrightarrow C \le 4\sqrt {ab} \)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
Vậy để \({C_{\min }} = 4\sqrt {ab} \) thì hình chữ nhật là hình vuông.
Điều này cho thấy trong các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi bé nhất.
