a) Vẽ \(PB \perp MR\) tại \(B\).
Vậy tam giác \(MPQ\) và \(RPQ\) có chung đường cao \(PB.\)
Vì \(Q\) là trọng tâm của \(∆MNP\) nên điểm \(Q\) thuộc đường trung tuyến \(MR\) và \(MQ = 2QR.\)
Ta có: \( S_{\Delta MPQ}= \dfrac{1}{2}MQ.PB\)\(\,= \dfrac{1}{2}. 2QR.PB =QR.PB \)
và \(S_{\Delta RPQ}= \dfrac{1}{2}QR.PB \)
Vậy: \(\dfrac{S_{\Delta MPQ}}{S_{\Delta RPQ}} = \dfrac{QR.PB}{\dfrac{1}{2}QR.PB} = 2 \) (1)
b) Vẽ \(NA \perp MR\) tại \(A\)
Vậy tam giác \(MNQ\) và \(RNQ\) có chung đường cao \(NA.\)
Vì \(Q\) là trọng tâm của \(∆MNP\) nên điểm \(Q\) thuộc đường trung tuyến \(MR\) và \(MQ = 2QR.\)
Ta có: \( S_{\Delta MNQ}= \dfrac{1}{2}MQ.NA\)\(= \dfrac{1}{2}. 2QR.NA =QR.NA \)
và \(S_{\Delta RNQ}= \dfrac{1}{2}QR.NA \)
Vậy: \(\dfrac{S_{\Delta MNQ}}{S_{\Delta RNQ}} = \dfrac{QR.NA}{\dfrac{1}{2}QR.NA} = 2 \) (2)
c) Hai tam giác \(∆RPQ\) và \(∆RQN\) có chung đường cao kẻ từ \(Q\) và \(PR = RN\) nên \({S_{RPQ}} = {S_{RQN}}\)
Vì \({S_{RPQ}} + {S_{RQN}} = {S_{QNP}}\)
Nên \({S_{QNP}} = 2{S_{RPQ}} = 2{S_{RQN}}\) (3)
Từ (1), (2), (3) ta có: \({S_{MNQ}} ={S_{QNP}} ={S_{MPQ}}\)
