a) Xét: \(\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right | = \left | \overrightarrow{a} \right |\) + \(\left | \overrightarrow{b} \right |\)
Giả sử hình bình hành \(ABCD\) có các kích thước \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} = \overrightarrow a ,\;\;\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} = \overrightarrow b .\)
Khi đó ta có: \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \)\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC.\)
Lại có: \(\left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right| = a + b = AB + BC.\)
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|\)\( \Leftrightarrow AC = AB + BC\)
\( \Leftrightarrow A, \, \, B,\, \, C\) thẳng hàng và \(B\) nằm giữa \(A, \, \, C\) hay \(\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b \) cùng hướng.
Vậy \(\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right | = \left | \overrightarrow{a} \right |+ \left | \overrightarrow{b} \right |\) khi hai vectơ \(\overrightarrow{a}, \, \, \overrightarrow{b}\) cùng hướng.
b) Xét \(\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |= \left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |.\)
Tương tự câu a ta có: \( \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC.\)
Ta có: \(\overrightarrow a - \overrightarrow b = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DB} \) \( \Rightarrow \left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right| = DB.\)
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| \)\(\Leftrightarrow AC = DB.\)
Khi đó hình bình hành \(ABCD\) là hình chữ nhật \(\Rightarrow AD \perp AB\) hay \(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}.\)
