Bài 7 trang 49 SGK Hình học lớp 12

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AA' = a, AB = b, AD = c\).

a) Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp đó.

b) Tính bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng \((ABCD)\) với mặt cầu trên.

a) Trong hình hộp chữ nhật, bốn đường chéo \(\displaystyle AC', BD', CA' và DB'\) cắt nhau tại điểm \(\displaystyle I\) là trung điểm của mỗi đường.

Vì \(\displaystyle 4\) đường chéo trong hình hộp chữ nhật bằng nhau, nên điểm \(\displaystyle I\) cách đều \(\displaystyle 8\) đỉnh của hình hộp chữ nhật. Nó là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp.

Vì \(\displaystyle AB = b, AD = c, AA' = a\) nên bán kính mặt cầu \(\displaystyle R = {1 \over 2}A'C = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \).

b) Giao tuyến của mặt phẳng\(\displaystyle ( ABCD)\) với mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật \(\displaystyle ABCD.A'B'C'D'\) là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật \(\displaystyle ABCD\). Nên bán kính của đường trong giao tuyến là: 

\(\displaystyle r = {1 \over 2}AC = {1 \over 2}\sqrt {{b^2} + {c^2}} \)