Thể tích của hình trụ là: \(V = B.h = \pi {r^2}.h \Rightarrow h = {V \over {\pi {r^2}}}\)
Diện tích toàn phần của hình trụ là:
\(S = 2\pi {r^2} + 2\pi r.h = 2\pi {r^2} + 2\pi .r.{V \over {\pi {r^2}}} = 2\pi {r^2} + {{2V} \over r}\)
Xét hàm số:
\(\eqalign{
& S\left( r \right) = 2\pi {r^2} + {{2V} \over r}\,\,\left( {r > 0} \right) \cr
& S' = 4\pi r - {{2V} \over {{r^2}}} = {{4\pi {r^2} - 2V} \over {{r^2}}} \cr
& S' = 0 \Leftrightarrow r = \root 3 \of {{V \over {2\pi }}} \cr} \)
Bảng biến thiên:
\(S\) đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm \(r = \root 3 \of {{V \over {2\pi }}} \) khi đó \(h = {V \over {\pi {r^2}}} = {V \over {\pi \root 3 \of {{{{V^2}} \over {4{\pi ^2}}}} }} = \root 3 \of {{{4V} \over \pi }} \)
