Vì \(∆ABC\) là tam giác nhọn nên ba đường cao cắt nhau tại điểm \(H\) nằm trong tam giác \(ABC.\)
\(a)\) Tứ giác \(AKHL\) có: \(\widehat {AKH} + \widehat {ALH} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)
Nên tứ giác \(AKHL\) nội tiếp.
\(+)\) Tứ giác \(BIHL\) có: \(\widehat {BIH} + \widehat {BLH} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)
Nên tứ giác \(BIHL\) nội tiếp.
\(+)\) Tứ giác \(CIHK\) có: \(\widehat {CIH} + \widehat {CKH} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)
Nên tứ giác \(CIHK\) nội tiếp.
\(+)\) Tứ giác \(ABIK\) có: \(\widehat {AKB} = 90^\circ;\widehat {AIB} = 90^\circ \)
\(K\) và \(I\) nhìn đoạn \(AB\) dưới một góc vuông nên tứ giác \(ABIK\) nội tiếp.
\(+)\) Tứ giác \(BCKL\) có \(\widehat {BKC} = 90^\circ;\widehat {BLC} = 90^\circ \)
Suy ra\(K\) và \(L\) nhìn đoạn \(BC\) dưới một góc vuông nên tứ giác \(BCKL\) nội tiếp.
\(+)\) Tứ giác \(ACIL\) có \(\widehat {AIC} = 90^\circ;\widehat {ALC} = 90^\circ \)
Suy ra\(I\) và \(L\) nhìn đoạn \(AC\) dưới một góc vuông nên tứ giác \(ACIL\) nội tiếp.
\(b)\) Tứ giác \(BIHL\) nội tiếp.
\( \Rightarrow \widehat {LBH} = \widehat {LIH}\) \((\)\(2\) góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ \(\overparen{LH}\)\()\) \( \;\;(1)\)
Tứ giác \(CIHK\) nội tiếp.
\( \Rightarrow \widehat {HIK} = \widehat {HCK}\) \((2\) góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ \(\overparen{HK}\)\()\) \(\;\;(2)\)
Tứ giác \(BCKL\) nội tiếp.
\( \Rightarrow \widehat {LBK} = \widehat {LCK}\) \((2\) góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ \(\overparen{LK}\)) hay \(\widehat {LBH} = \widehat {HCK}\) \( \;\;(3)\)
Từ \((1),\) \((2)\) và \((3)\) suy ra: \(\widehat {LKH} = \widehat {HKI}\). Vậy \(KB\) là tia phân giác của \(\widehat {LKI}.\)
