Diện tích hình hoa thị bằng tổng diện tích \(3\) hình viên phân trừ diện tích tam giác đều \(ABC.\)
Gọi \(O\) là tâm của tam giác đều \(ABC\)
\( \Rightarrow OA = OB = OC\)
Vì \(∆ABC\) đều nên \(AO,\) \(BO,\) \(CO\) là phân giác của các góc \(\widehat A,\widehat B,\widehat C\)
\(\widehat {OAC} = \widehat {OCA} = \displaystyle {{{{60}^\circ}} \over 2} = {30^\circ}\)
\(\widehat {AOC} = {180^\circ} - \left( {{{30}^\circ} + {{30}^\circ}} \right) = {120^\circ}\)
\( \Rightarrow sđ \overparen{AOC}\) là tam giác đều nội tiếp trong đường tròn \((O’; R)\)
Trong tam giác \(O’HA\) có \(\widehat {O'HA} = {90^\circ}\), \(\widehat {HO'A} = {60^\circ}\)
\(AH = R.\sin \widehat {HO'A}\)\( = R. \sin 60^\circ= \displaystyle {{R\sqrt 3 } \over 2}\)
\(AC=2AH=R\sqrt 3 \)
\( \Rightarrow R =\displaystyle {\displaystyle {AC} \over {\sqrt 3 }} = {a \over {\sqrt 3 }} = {{a\sqrt 3 } \over 3}\)
\(S_q=\displaystyle {{\pi \displaystyle {{\left( {{\displaystyle {a\sqrt 3 } \over 3}} \right)}^2}.120} \over {360}}\)
\(=\displaystyle {{\pi \displaystyle {{\displaystyle {a^2}} \over 3}} \over 3} = {{\pi {a^2}} \over 9}\) (đơn vị diện tích)
\(∆O'HA\) có \(\widehat {O'HA} = {90^\circ}\); \(\widehat {HO'A} = {60^\circ}\)
\(O'A=R.\cos {60^\circ} = \displaystyle {{a\sqrt 3 } \over 3}.{1 \over 2} = {{a\sqrt 3 } \over 6}\)
\(S_{\Delta O'CA}=\displaystyle {1 \over 2}O'H.AC \)\(\displaystyle = {1 \over 2}.{{a\sqrt 3 } \over 6}.a = {{{a^2}\sqrt 3 } \over {12}}\) (đơn vị diện tích)
\(S_{vp}=S_q-S_{\Delta O'CA}\) \(= \displaystyle {{\pi {a^2}} \over 9} - {{{a^2}\sqrt 3 } \over {12}} = {{4\pi {a^2} - 3{a^2}\sqrt 3 } \over {36}}\)
Diện tích tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a:\) \(S_{ABC}= \dfrac{a^2\sqrt 3 } {4}\) (đơn vị diện tích)
Diện tích hình hoa thị là:
\(S=3S_{vp}-S_{ABC}\)\(= \displaystyle 3.{{4\pi {R^2} - 3{a^2}\sqrt 3 } \over {36}} - {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\)
\(= \displaystyle {{4\pi {a^2} - 3{a^2}\sqrt 3 } \over {12}} - {{3{a^2}\sqrt 3 } \over {12}}\)
\(= \displaystyle {{4\pi {a^2} - 6{a^2}\sqrt 3 } \over {12}} = {{{a^2}} \over 6}\left( {2\pi - 3\sqrt 3 } \right)\)
