a) Vì \(D\) thuộc đường trung trực cạnh \(AB\) nên \(DB=DA\) (tính chất)
Vì \(D\) thuộc đường trung trực cạnh \(AC\) nên \(DC=DA\) (tính chất)
Suy ra \(DB=DC\,(=DA)\) hay \(D\) là trung điểm cạnh \(BC.\)
b) Vì \(DA=DB (cmt)\) nên tam giác \(DAB\) cân tại \(D.\) Suy ra \(\widehat B = \widehat {{A_1}}\).
Tương tự \(\widehat C = \widehat {{A_2}}\).
Do đó: \(\widehat A = \widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = \widehat B + \widehat C\)
Bài 7.5
Chứng minh rằng nếu trong tam giác \(ABC\) có hai cạnh \(AB\) và \(AC\) không bằng nhau thì đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh \(A\) không vuông góc với \(BC.\)
Phương pháp:
Sử dụng:
+) Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó
Vì \(AM\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\) nên \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC.\)
Giả sử \(AM \bot BC\). Khi đó \(AM\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(BC.\) Suy ra \(AB = AC.\)
Điều này mâu thuẫn với giả thiết \(AB\) không bằng \(AC.\) Vậy trung tuyến \(AM\) không vuông góc với \(BC.\)
Bài 7.6
Cho đường thẳng \(d\) và hai điểm \(A, B\) nằm về một phía của \(d\) sao cho \(AB\) không vuông góc với \(d.\) Hãy tìm trên \(d\) một điểm \(M\) sao cho \(\left| {MA - MB} \right|\) có giá trị nhỏ nhất.
Phương pháp:
Sử dụng: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó
Ta có \(\left| {MA - MB} \right| \ge 0\) với một điểm \(M\) tùy ý và \(\left| {MA - MB} \right| = 0\) với các điểm \(M\) thỏa mãn \(MA = MB.\) Khi đó, các điểm \(M\) nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \(AB.\)
Mặt khác \(M\) phải thuộc \(d.\) Vậy \( M\) là giao điểm của đường thẳng \(d\) và đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\) (tồn tại giao điểm này vì \(AB\) không vuông góc với \(d.)\)
Tóm lại: Khi \(M\) là giao điểm của \(d\) và đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\) thì \(\left| {MA - MB} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất là bằng \(0.\)
