Giả sử hình chữ nhật \(ABCD\) có \(E,F,G,H\) lần lượt là trung điểm của \(AB,BC,CD,DA\)
Bốn tam giác vuông \(EAH, EBF, GDH, GCF\) có:
\(AE = BE = DG = CG\) ( = \(\dfrac{1}{2}AB\) = \(\dfrac{1}{2}CD\) )
\(HA = FB = DH = CF\) ( = \(\dfrac{1}{2}AD = \dfrac{1}{2}BC\) )
Xét \(∆EAH\) và \(∆EBF\) có:
\(\left\{ \begin{array}{l}A{\rm{E}} = BE\left( {cmt} \right)\\\widehat A = \widehat B = {90^0}\left( {gt} \right)\\AH = BF\left( {cmt} \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \Delta AHE = \Delta BEF\left( {c - g - c} \right)\)
\( \Rightarrow \) \(EH = EF \) (2 cạnh tương ứng) (1)
Xét \(∆HDG\) và \(∆FCG\) có:
\(\left\{ \begin{array}{l}H{\rm{D}} = FC\left( {cmt} \right)\\\widehat D = \widehat C = {90^0}\left( {gt} \right)\\DG = CG\left( {cmt} \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \Delta HDG = \Delta FCG\left( {c - g - c} \right)\)
\( \Rightarrow \) \(GH = GF \) (2 cạnh tương ứng) (2)
Xét \(∆AHE\) và \(∆DHG\) có:
\(\left\{ \begin{array}{l}H{\rm{A}} = HD\left( {cmt} \right)\\\widehat A = \widehat D = {90^0}\left( {gt} \right)\\AE = DG\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \)
\(\Rightarrow \Delta AHE = \Delta DHG\left( {c - g - c} \right)\)
\( \Rightarrow \) \(EH = HG \) (2 cạnh tương ứng) (3)
Từ (1), (2) và (3) \( \Rightarrow HE=EF = HG = GF\)
\( \Rightarrow \) \(EFGH\) là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi).
(Trong đó: "cmt" là chứng minh trên)
