Xét hình thoi \(ABCD\), gọi \( E, F, G, H\) lần lượt là trung điểm của \( AB, BC, CD, AD\).
Ta có: \(EB = EA, FB = FC\) (gt)
nên \(EF\) là đường trung bình của \(∆ABC\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác )
\( \Rightarrow \) \(EF // AC\) (tính chất đường trung bình của tam giác)
\(HD = HA, GD = GC\) (gt)
\( \Rightarrow \) \(HG\) là đường trung bình của \(∆ADC\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác )
\( \Rightarrow \) \(HG // AC\) (tính chất đường trung bình của tam giác)
\( \Rightarrow \) \(EF // HG\) (cùng // \(AC\)) (1)
Ta có: \(EB = EA, AH = HD\) (gt)
nên \(EH\) là đường trung bình của \(∆ABD\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác )
\( \Rightarrow \) \(EH // BD\) (tính chất đường trung bình của tam giác)
\(BF = FC, GD = GC\) (gt)
\( \Rightarrow \) \(FG\) là đường trung bình của \(∆BDC\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác )
\( \Rightarrow \) \(FG // BD\) (tính chất đường trung bình của tam giác)
\( \Rightarrow \) \(EH // FG\) (cùng // \(BD\)) (2)
Từ (1) (2) ta được \(EFGH\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Lại có \(EF // AC\) (cmt) và \(BD ⊥ AC\) (tính chất hình thoi)
\( \Rightarrow \) \(BD ⊥ EF\)
\(EH // BD\) (cmt) và \(EF ⊥ BD\) (tính chất hình thoi)
\( \Rightarrow \) \(EF ⊥ EH\) (Vì \(EH//BD\))
\( \Rightarrow \) \(\widehat{FEH} = 90^0\)
Hình bình hành \(EFGH\) có \(\widehat{E} = 90^0\) nên là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
