+) Vì hai tiếp tuyến chung của đường tròn \((O)\) và \((O’)\) cắt nhau tại \(A\) nên \(O, O’, A\) thẳng hàng.
\(\widehat {OAM} = \widehat {OAP} = \displaystyle{1 \over 2}\widehat {MAP}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
\( \Rightarrow \widehat {OAM} = {30^0}\)
+) Trong tam giác vuông \(OMA\) có \(\widehat {OMA} = {90^0}\)
\( \Rightarrow MA = OM.\cot \widehat {OAM}\)
\( = 4a\cot {30^0} = 4a\sqrt 3 \)
+) Trong tam giác vuông \(O’NA\) có\(\widehat {O'NA} = {90^0}\)
\( \Rightarrow NA = O'N\cot \widehat {O'AN} \)\(= a\cot {30^0} = a\sqrt 3 \)
\(MN = MA - NA \)\(= 4a\sqrt 3 - a\sqrt 3 = 3a\sqrt 3 \)
+) Trong tứ giác \(O’NAQ\) có \(\widehat N = \widehat Q = {90^0}\); \(\widehat A = {60^0}\)
Suy ra: \(\widehat {NO'Q} = {120^0}\)
Độ dài cung nhỏ \(\overparen{NQ}\) là: \({l_1} =\displaystyle {{\pi .a.120} \over {180}} = {{2\pi a} \over 3}\)
+) Trong tứ giác \(OMAP\) có \(\widehat M = \widehat P = {90^0}\); \(\widehat A = {60^0}\)
Suy ra: \(\widehat {MOP} = {120^0}\) nên số đo cung nhỏ \(\overparen{MP}\) bằng \({120^0}\)
\(sđ \overparen{MnP}\) \( = {360^0} - {120^0} = {240^0}\)
Độ dài cung lớn \(\overparen{MnP}\) là \({l_2} = \displaystyle{{\pi .4a.240} \over {180}} = {{16\pi a} \over 3}\)
Chiều dài của dây cua – roa mắc qua hai ròng rọc là:
\(2MN + {l_1} + {l_2}\)\( = \displaystyle2.3a\sqrt 3 + {{2\pi a} \over 3} + {{16\pi a} \over 3}\)
\(=6a\sqrt 3 + 6\pi a = 6a\left( {\sqrt 3 + \pi } \right)\)
