Ta có:
\(AB = AD + DB\) (1)
\(BC = BE + EC\) (2)
\(AC = AF + FC\) (3)
\(AB = AC = BC\) (gt) (4)
\(AD = BE = CF\) (gt) (5)
Từ (1), (2), (3), (4) và (5) suy ra:
\(BD = EC = AF\)
Xét \(∆ADF\) và \(∆BED\) có:
\( AD = BE \) (gt)
\(\widehat A = \widehat B = 60^\circ \) (vì \(∆ABC\) đều)
\(AF = BD\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow ∆ADF = ∆BED \) (c.g.c)
\( \Rightarrow DF = ED\) (hai cạnh tương ứng) (6)
Xét \(∆ADF\) và \(∆CFE\) có:
\( AD = CF\) (gt)
\(\widehat A = \widehat C = 60^\circ \) (vì \(∆ABC\) đều)
\( AF=EC\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow ∆ADF = ∆CFE\) (c.g.c)
\( \Rightarrow DF = FE\) (hai cạnh tương ứng) (7)
Từ (6) và (7) suy ra: \(DF = ED = FE\).
Vậy \(∆DEF\) đều.
