Bài 8. Một số bài toán thường gặp về đồ thị

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \((C)\) của hàm số:

\(f\left( x \right) = 2{x^3} + 3{x^2} + 1\)

b) Tìm các giao điểm của đường cong \((C)\) và parabol:

\((P):\,\,\,g\left( x \right) = 2{x^2} + 1\)

c) Viết phương trình các tiếp tuyến của \((C)\) và \((P)\) tại mỗi giao điểm của chúng.

d) Xác định các khoảng trên đó \((C)\) nằm phía trên hoặc phía dưới \((C)\).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \(y = {{2x - 1} \over {x + 1}}\)

b) Với các giá nào của \(m\), đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)\) đi qua điểm \(A(-2;2)\) và có hệ số góc \(m\) cắt đồ thị của hàm số đã cho:

• Tại hai điểm phân biệt?

• Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị?

 Một viên đạn được bắn ra với vận tốc ban đầu \({v_o} > 0\) từ một nòng súng đặt ở gốc tọa độ \(O\), nghiêng một góc  \(\alpha \) với mặt đất (nòng súng nằm trong mặt phẳng thẳng đứng \(Oxy\) và tạo với trục hoành \(Ox\) góc \(\alpha \) ). Biết quỹ đạo chuyển động của viên đạn là parabol.

\(\left( {{\gamma _\alpha }} \right):y =  - {g \over {2v_o^2}}\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right){x^2} + x\tan \alpha \) ( \(g\) là gia tốc trọng trường).

Chứng minh rằng với mọi \(\alpha  \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right),\,\left( {{\gamma _\alpha }} \right)\) luôn tiếp xúc với parabol \((P)\) có phương trình là: \(y =  - {g \over {2v_o^2}}{x^2} + {{v_o^2} \over {2g}}\) và tìm tọa độ tiếp điểm \((P)\) được gọi là parabol an toàn).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: \(y = {{x - 1} \over {x + 1}}\)

b) Chứng minh rằng giao điểm \(I\) của hai đường tiệm cận của đường cong đã cho là tâm đối xứng của nó.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \((H)\) của hàm số: \(y = {{x + 2} \over {2x + 1}}\)

b) Chứng minh rằng đường thẳng \(y = mx + m - 1\) luôn đi qua một điểm cố định của đường cong (H) khi m biến thiên.

c) Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng đã cho cắt đường cong \((H)\) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của (H).

Cho hàm số \(y = {{a{x^2} - bx} \over {x - 1}}\)

a) Tìm \(a\) và \(b\) biết rằng đồ thị \((C)\) của hàm số đã cho đi qua điểm \(A\left( { - 1;{5 \over 2}} \right)\) và tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(O(0;0)\) có hệ số bằng \(-3\).

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với các giá trị của \(a\) và \(b\) đã tìm được.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \(y = {{2{x^2} - x + 1} \over {x - 1}}\)

b) Với các giá trị nào t=của m đường thẳng \(y = m – x\) cắt đồ thị hàm số đã cho tại hao điểm phân biệt?

c) Gọi \(A\) và \(B\) là hai giao điểm đó. Tìm tập hợp các trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi \(m\) biến thiên.