Bài 8. Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Chứng minh đẳng thức \(\dfrac{{a\sqrt a  + b\sqrt b }}{{\sqrt a  + \sqrt b }} - \sqrt {ab}  = {\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)^2}\)  với \(a > 0,b > 0\). 

Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(\displaystyle {{{x^2} - 3} \over {x + \sqrt 3 }}\)

b) \(\displaystyle {{1 - a\sqrt a } \over {1 - \sqrt a }}\) với \(a \ge 0;\,\,a \ne 1\)  

Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(5\sqrt{\dfrac{1}{5}}+\dfrac{1}{2}\sqrt{20}+\sqrt{5};\)

b) \(\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{4,5}+\sqrt{12,5};\)

c) \(\sqrt{20}-\sqrt{45}+3\sqrt{18}+\sqrt{72};\)

d) \(0,1.\sqrt{200}+2.\sqrt{0,08}+0,4.\sqrt{50}.\)

Rút gọn các biểu thức sau (với \(a>0, b>0\)):

a) \(5\sqrt{a}-4b\sqrt{25a^{3}}+5a\sqrt{16ab^{2}}-2\sqrt{9a};\)

b) \(5a\sqrt{64ab^{3}}-\sqrt{3}\cdot \sqrt{12a^{3}b^{3}}+2ab\sqrt{9ab}-5b\sqrt{81a^{3}b}.\)

Cho biểu thức \(B= \sqrt{16x+16}-\sqrt{9x+9}+\sqrt{4x+4}+\sqrt{x+1}\) với \(x\geq -1\).

a) Rút gọn biểu thức \(B\); 

b) Tìm \(x\) sao cho \(B\) có giá trị là \(16\).

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) \(\dfrac{3}{2}\sqrt 6+ 2\sqrt{\dfrac{2}{3}}-4\sqrt{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{\sqrt 6}{6}\)

b) \(\left( {x\sqrt {\dfrac{6}{x}}  + \sqrt {\dfrac{2x}{3}}  + \sqrt {6x} } \right):\sqrt {6x}=\dfrac{7}{3} \) với \(x > 0.\) 

Rút gọn các biểu thức sau: 

a) \(\dfrac{1}{2}\sqrt{48}-2\sqrt{75}-\dfrac{\sqrt{33}}{\sqrt{11}}+5\sqrt{1\dfrac{1}{3}}\);

b) \(\sqrt{150}+\sqrt{1,6}. \sqrt{60}+4,5.\sqrt{2\dfrac{2}{3}}-\sqrt{6};\)

c) \((\sqrt{28}-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+\sqrt{84};\)

d) \((\sqrt{6}+\sqrt{5})^{2}-\sqrt{120}.\)

Rút gọn biểu thức sau: 

a) \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}+\sqrt{ab}+\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b}{a}}\) với \(a>0\) và \(b>0\);

b) \(\sqrt{\dfrac{m}{1-2x+x^{2}}}.\sqrt{\dfrac{4m-8mx+4m^{2}}{81}}\) với \(m>0\) và \(x\neq 1.\)

Chứng minh các đẳng thức sau: 

a) \(\left ( \dfrac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}} +\sqrt{a}\right ). \left ( \dfrac{1-\sqrt{a}}{1-a} \right )^{2}= 1\) với \(a ≥ 0\) và \(a ≠ 1\)

b) \(\dfrac{a+b}{b^{2}}\sqrt{\dfrac{a^{2}b^{4}}{a^{2}+2ab+b^{2}}}  = \left| a \right|\) với \(a + b > 0\) và \(b ≠ 0\)

Rút gọn rồi so sánh giá trị của \(M\) với \(1\), biết:

\(M={\left(\dfrac{1}{a -\sqrt a} +\dfrac{1}{\sqrt a -1}\right)} : \dfrac{\sqrt a +1}{a -2\sqrt a+1}\)   với \(a > 0\) và \( a \ne 1\). 

Giá trị của biểu thức \(\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}\) bằng:

(A) \(\dfrac{1}{2}\);

(B) \(1\);

(C) \(-4\);

(D) \(4\).

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Bài 1. Rút gọn :  \(A = \left( {{{2 - a\sqrt a } \over {2 - \sqrt a }} + \sqrt a } \right).\left( {{{2 - \sqrt a } \over {2 - a}}} \right)\)\(\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {a \ge 0;a \ne 2;a \ne 4} \right)\)

Bài 2. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức :

\(B = \sqrt {1 - 6a + 9{a^2}} \,\,\text{với}\,\,a =  - \sqrt 2 \)

Bài 3. Tìm x, biết : \(\left( {\sqrt {2x}  - 3} \right)\left( {3\sqrt {2x}  - 2} \right) + 5 = 6x\)\(\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

Bài 1. Rút gọn :  \(A = {{a + b} \over {{{\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)}^2}}} - {2 \over {\sqrt {ab} }}:{\left( {{1 \over {\sqrt a }} - {1 \over {\sqrt b }}} \right)^2}.\)

Bài 2. Tìm x, biết : \(\sqrt {{x^2} - 2x + 1}  = \sqrt {6 + 4\sqrt 2 }  \)\(\,- \sqrt {6 - 4\sqrt 2 } \,\,\,\,\,\left( * \right)\)

Bài 3. Chứng minh rằng : \(\left| {a + b} \right| \le \sqrt {2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} ,\) với mọi a và b.

Bài 1. So sánh : \(\sqrt {4 + \sqrt 7 }  - \sqrt {4 - \sqrt 7 } \,\,va\,\,\sqrt 3 \)

Bài 2. Rút gọn : \(A = \left( {{{\sqrt a  + \sqrt b } \over {\sqrt a  - \sqrt b }} - {{\sqrt a  - \sqrt b } \over {\sqrt a  + \sqrt b }}} \right):{{\sqrt {ab} } \over {a - b}}\)\(\,\,\,\,\left( {a > 0;\,b > 0;\,a \ne b} \right)\)

Bài 3. Tìm x, biết : \(\sqrt {{x^2} + 2x + 1}  - \sqrt {{x^2} - 4x + 4}  = \)\(1 - 2x\,\,\left( {*} \right)\) với \(x ≤ -1\).

Bài 1. Rút gọn : \(A = \left( {{{1 - a\sqrt a } \over {1 - \sqrt a }} + \sqrt a } \right).{\left( {{{1 - \sqrt a } \over {1 - a}}} \right)^2}\)\(\,\,\,\left( {a \ge 0;\,a \ne 1} \right)\)  

Bài 2. Chứng minh rằng : \(x = {{\left( {5\sqrt 3  + \sqrt {50} } \right)\left( {5 - \sqrt {24} } \right)} \over {\sqrt {75}  - 5\sqrt 2 }}\) có giá trị là số nguyên.

Bài 3. Tìm x, biết : \(\left( {\sqrt x  + {1 \over {\sqrt x  + 1}}} \right).\left( {1 - {{\sqrt x  + 2} \over {x + \sqrt x  + 1}}} \right) > 0\,\left( * \right)\)

Bài 1. Rút gọn :  \(A = {{x\sqrt x  - 1} \over {x - \sqrt x }} - {{x\sqrt x  + 1} \over {x + \sqrt x }} + {{x + 1} \over {\sqrt x }}\)\(\,\,\left( {x > 0;\,x \ne 1} \right)\)

Bài 2. Chứng minh : \({{x + 2} \over {x\sqrt x  + 1}} + {{\sqrt x  - 1} \over {x - \sqrt x  + 1}} - {{\sqrt x  - 1} \over {x - 1}} < 1\,\,\left( * \right)\)\(\,\left( {x \ge 0;\,x \ge 1} \right)\)

Bài 1. Tính :

a. \(\sqrt {7 - 4\sqrt 3 }  - \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } \)

b. \(\left( {{{14} \over {\sqrt {14} }} + {{\sqrt {12}  + \sqrt {30} } \over {\sqrt 2  + \sqrt 5 }}} \right).\sqrt {5 - \sqrt {21} } \)

Bài 2. Chứng minh đẳng thức : \({4 \over {\sqrt x  + 2}} + {2 \over {\sqrt x  - 2}} - {{5\sqrt x  - 6} \over {x - 4}} = {1 \over {\sqrt x  - 2}},\) với \(x ≥ 0\) và \(x ≠ 4\).

Bài 3. Cho biểu thức : \(P = \left( {{1 \over {x - \sqrt x }} + {{\sqrt x } \over {x - 1}}} \right):{{x\sqrt x  - 1} \over {x\sqrt x  - \sqrt x }}\)

a. Rút gọn P với \(x > 0\) và \(x ≠ 1\).

b. Tìm x để \(P = {1 \over 2}\)