Bài 8. Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Đề bài

Rút gọn các biểu thức:

a) \((2 - \sqrt 2 )( - 5\sqrt 2 ) - {(3\sqrt 2  - 5)^2}\);

b) \( \displaystyle2\sqrt {3a}  - \sqrt {75a}  + a\sqrt {{{13,5} \over {2a}}}  - {2 \over 5}\sqrt {300{a^3}} \) với \(a \ge 0\) 

Đề bài

Rút gọn các biểu thức: 

a) \( \displaystyle{{\sqrt a  + \sqrt b } \over {\sqrt a  - \sqrt b }} + {{\sqrt a  - \sqrt b } \over {\sqrt a  + \sqrt b }}\) 

với \(a \ge 0,b \ge 0\) và \(a \ne b\)

b) \( \displaystyle{{a - b} \over {\sqrt a  - \sqrt b }} - {{\sqrt {a^3} - \sqrt {{b^3}}  } \over {a - b}}\) với \(a \ge 0,b \ge 0\) và \(a \ne b\) 

Đề bài

a) Chứng mình: 

\( \displaystyle{x^2} + x\sqrt 3  + 1 = {\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4}\) 

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \({x^2} + x\sqrt 3  + 1\). Giá trị đó đạt được khi \(x\) bằng bao nhiêu? 

Đề bài

Chứng tỏ giá trị các biểu thức sau là số hữu tỉ: 

a) \( \displaystyle{2 \over {\sqrt 7  - 5}} - {2 \over {\sqrt 7  + 5}}\);

b) \( \displaystyle\,{{\sqrt 7  + 5} \over {\sqrt 7  - 5}} + {{\sqrt 7  - 5} \over {\sqrt 7  + 5}}.\) 

Đề bài

Tìm \(x\) biết: 

a) \( \displaystyle\sqrt {4x + 20}  - 3\sqrt {5 + x}  + {4 \over 3}\sqrt {9x + 45}  \)\(= 6;\)

b) \( \displaystyle\sqrt {25x - 25}  - {{15} \over 2}\sqrt {{{x - 1} \over 9}} \)\( = 6 + \sqrt {x - 1} .\) 

Đề bài

Cho biểu thức: 

\(P\) = \(\dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 2}} + \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} + \dfrac{{2 + 5\sqrt x }}{{4 - x}}\)

a) Rút gọn \(P\) với \(x \ge 0\) và \(x \ne 4.\)

b) Tìm \(x\) để \(P = 2\).   

Đề bài

Cho biểu thức: 

\(Q = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt a  - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt a }}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt a  + 1}}{{\sqrt a  - 2}} - \dfrac{{\sqrt a  + 2}}{{\sqrt a  - 1}}} \right)\)  

a) Rút gọn \(Q\) với \(a > 0,a \ne 4\) và \(a \ne 1\).

b) Tìm giá trị của \(a\) để \(Q\) dương. 

Đề bài

Với ba số  \(a, b, c\) không âm, chứng minh bất đẳng thức: 

\(a + b + c \ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ca} \)

Hãy mở rộng kết quả cho trường hợp bốn số, năm số không âm. 

Đề bài

Bất phương trình:

\(\sqrt {32} x - \left( {\sqrt 8  + \sqrt 2 } \right)x > \sqrt 2 \)

tương đương với bất phương trình

(A) \(\sqrt {20} x > \sqrt 2 \)

(B) \(2\sqrt {5} x > \sqrt 2 \)

(C) \(15\sqrt {2} x > \sqrt 2 \)

(D) \(\sqrt {2} x > \sqrt 2 \)