a) Xét hai tam giác vuông \(∆ABE\) và \(∆HBE\), ta có:
+) \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (do \(BE\) là phân giác của góc \(B\))
+) \(BE \) cạnh huyền chung
Vậy \(∆ABE = ∆HBE\) (cạnh huyền-góc nhọn)
b) Vì \(∆ABE = ∆HBE\) (câu a)
\( \Rightarrow BA = BH, EA = EH\) (hai cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow E, B\) cùng thuộc trung trực của \(AH\) nên đường thẳng \(EB\) là trung trực của \(AH.\)
c) Xét \(∆AEK\) và \(∆HEC\), ta có:
+) \(\widehat {EAK} = \widehat {EHC} = {90^0}\)
+) \(EA = EH\) (chứng minh trên)
+) \(\widehat {{E_2}} = \widehat {{E_1}}\) (hai góc đối đỉnh)
Vậy \(∆AEK = ∆HEC \) (g.c.g)
\( \Rightarrow EK = EC\) (Hai cạnh tương ứng) (điều phải chứng minh)
d) Trong tam giác vuông \(AEK\) ta có:
\(AE < EK\) (cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông)
Mà \(EC = EK\) (chứng minh trên)
Suy ra \(AE < EC\) (điều phải chứng minh).
