Trong \(∆ABC\) có \(AB < AC\)
\( \Rightarrow \) \(\widehat {ABC} > \widehat {ACB}\) (đối diện cạnh lớn hơn là góc lớn hơn) (1)
Ta có: \(AB = BM\) (gt)
\( \Rightarrow ∆ABM\) cân tại \(B\)
\( \Rightarrow \) \(\widehat M = \widehat {{A_1}}\) (tính chất tam giác cân)
Trong \(∆ABM\) ta có có góc ngoài tại đỉnh \(B\)
\(\widehat {ABC} = \widehat M + \widehat {{A_1}}\)
Suy ra: \(\displaystyle \widehat M = {1 \over 2}\widehat {ABC}\) (2)
Ta có: \(AC = CN\) (gt)
\( \Rightarrow ∆CAN\) cân tại \(C\)
\( \Rightarrow \) \(\widehat N = \widehat {{A_2}}\) (tính chất tam giác cân)
Trong \(∆CAN\) ta có \(\widehat {ACB}\) là góc ngoài tại đỉnh \(C.\)
\( \Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat N + \widehat {{A_2}}\)
Suy ra: \(\displaystyle \widehat N = {1 \over 2}\widehat {ACB}\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat M > \widehat N\)
b) Trong \(∆AMN\) ta có: \(\widehat M > \widehat N\)
Suy ra: \(AN > AM\) (đối diện góc lớn hơn là cạnh lớn hơn)
