Xét tứ giác \(AECF,\) ta có:
\(AB // CD\;\; (gt)\)
hay \(AE // CF\)
\(AE = \displaystyle {1 \over 2}AB\;\;(gt)\)
\(CF = \displaystyle {1 \over 2}CD \;\;(gt)\)
\(AB = CD\) (tính chất hình bình hành)
Suy ra: \(AE = CF\)
Tứ giác \(AECF\) là hình bình hành ( vì có một cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau)
\(⇒ AF // CE\) hay \(EN // FM \;\;(1)\)
Xét tứ giác \(BFDE\) ta có:
\(AB // CD \;\;(gt)\) hay \(BE // DF\)
\(BE = \displaystyle {1 \over 2}AB\;\; (gt)\)
\(DF = \displaystyle {1 \over 2}CD\;\; (gt)\)
\(AB = CD\) ( tính chất hình bình hành)
Suy ra: \(BE = DF\)
Tứ giác \(BFDE\) là hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
\(⇒ BF // DE\) hay \(EM // FN \;\;(2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra tứ giác \(EMFN\) là hình bình hành (theo định nghĩa)
\(b)\) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(EF\)
Tứ giác \(AECF\) là hình bình hành \(⇒ OE = OF\)
Tứ giác \(EMFN\) là hình bình hành nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Suy ra: \(MN\) đi qua trung điểm \(O\) của \(EF\)
Vậy \(AC, EF, MN \) đồng quy tại \(O.\)
