a) Ta có \(MB = MC\) (vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) ),
\(BD = DA\) (vì \(D\) là trung điểm của \(AB\) )
nên \(MD\) là đường trung bình của \(∆ABC\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)
Do đó \(MD // AC\) (tính chất đường trung bình của tam giác)
Do \(AC ⊥ AB\) (gt) nên \(MD ⊥ AB\)
Ta có \(AB\) là đường trung trực của \(ME\) (do \(AB ⊥ ME\) tại \(D\) và \(DE = DM\)) nên \(E\) đối xứng với \(M\) qua \(AB\).
b) Ta có: \(EM // AC\) (do \(MD // AC\))
\(EM = AC\) (cùng bằng \(2DM\))
Suy ra \(AEMC\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Tứ giác \(AEBM\) có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình bình hành.
Hình bình hành \(AEBM\) có \(AB ⊥ EM\) (chứng minh trên) nên \(AEBM\) là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi)
c) Ta có \(BC = 4 cm \Rightarrow BM = 2 cm\) (do \(M\) là trung điểm \(BC\))
Chu vi hình thoi \(AEBM\) bằng \(4.BM = 4. 2 = 8(cm)\)
d) Cách 1 :
Hình thoi \(AEBM\) là hình vuông \(⇔ AB = EM ⇔ AB = AC\)
Vậy nếu \(ABC\) vuông có thêm điều kiện \(AB = AC\) (tức là tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\)) thì \(AEBM\) là hình vuông.
Cách 2 :
Hình thoi \(AEBM\) là hình vuông \(⇔AM ⊥ BM\)
\(⇔∆ABC\) có trung tuyến \(AM\) là đường cao
\(⇔∆ABC\) cân tại \(A\) (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)
Vậy nếu \(∆ABC\) vuông có thêm điều kiện cân tại \(A\) thì \(AEBM\) là hình vuông.
