Bài 9. Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức

Biến đổi biểu thức sau thành một phân thức

\(B = \dfrac{{1 + \dfrac{2}{{x - 1}}}}{{1 + \dfrac{{2x}}{{{x^2} + 1}}}}\)

Cho phân thức \(\dfrac{{x + 1}}{{{x^2} + x}}\) 

a) Tìm điều kiện của \(x\) để giá trị của phân thức được xác định.

b) Tính giá trị của phân thức tại \(x = 1 000 000\) và tại \(x = - 1\).

Biến đổi mỗi biểu thức sau thành một phân thức đại số:

a) \( \dfrac{1+\dfrac{1}{x}}{1-\dfrac{1}{x}}\);

b) \( \dfrac{1-\dfrac{2}{x+1}}{1-\dfrac{x^{2}-2}{x^{2}-1}}\).

Với giá trị nào của \(x\) thì giá trị của mỗi phân thức sau được xác định?

a) \( \dfrac{5x}{2x+4}\);                        b) \( \dfrac{x-1}{x^{2}-1}\).

Cho phân thức: \(\dfrac{{{x^2} + 4{\rm{x}} + 4}}{{x + 2}}\)

a) Với điều kiện nào của \(x\) thì giá trị của phân thức được xác định?

b) Rút gọn phân thức?

c) Tìm giá trị của \(x\) để giá trị của phân thức bằng \(1\).

d) Có giá trị nào của \(x\) để giá trị của phân thức bằng \(0\) hay không?

Đố. Đố em tìm được một phân thức ( của một biến \(x\)) mà giá trị của nó tìm được xác định với mọi giá trị của \(x\) khác các ước của \(2\).

Thực hiện các phép tính:

a) \(\left( {\dfrac{x}{{x + 1}} + 1} \right):\left( {1 - \dfrac{{3{x^2}}}{{1 - {x^2}}}} \right);\)

b) \(\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{1}{{x + 1}} - 1} \right)\)

Làm các phép tính sau:

a) \(\left( {\dfrac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \dfrac{y}{x}} \right):\left( {\dfrac{x}{{{y^2}}} - \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{x}} \right);\)

b) \(\left( {\dfrac{1}{{{x^2} + 4x + 4}} - \dfrac{1}{{{x^2} - 4x + 4}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{x + 2}} + \dfrac{1}{{x - 2}}} \right)\)

Chứng tỏ rằng với (\(a\) là một số nguyên), giá trị của biểu thức

 \(\left( {a - \dfrac{{{x^2} + {a^2}}}{{x + a}}} \right).\left( {\dfrac{{2a}}{x} - \dfrac{{4a}}{{x - a}}} \right)\)  là một số chẵn.

a) Biến đổi mỗi biểu thức sau thành một phân thức đại số :

\(1 + \dfrac{1}{x}\);                 

\(1 + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{x}}}\) ;            

\(1 + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{x}}}}}\)  ;

b) Em hãy dự đoán kết quả của phép biến đổi biểu thức \(1 + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{x}}}}}}}}}\)

thành phân thức đại số và kiểm tra lại dự đoán đó.

Tìm các giá trị của \(x\) để giá trị của các phân thức sau được xác định :

\(\eqalign{
& a)\,\,\,{{3x + 2} \over {2{x^2} - 6x}} \cr
& b)\,\,{5 \over {{x^2} - 3}} \cr} \)

Cho phân thức \(\dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{{x^2} - 1}}\).

a) Với giá trị nào của \(x\)  thì giá trị của phân thức được xác định?

b) Chứng tỏ phân thức rút gọn của phân thức đã cho là \(\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\).

c) Để tính giá trị của phân thức đã cho tại \(x = 2\) và tại \(x = -1\), bạn Thắng đã làm như sau:

- Với \(x =2\), phân thức đã cho có giá trị là \(\dfrac{{2 + 1}}{{2 - 1}} = 3\);

- Với \(x = -1\), phân thức đã cho có giá trị là \(\dfrac{{ - 1 + 1}}{{ - 1 - 1}} = 0\).

Em có đồng ý không? Nếu không, em hãy chỉ ra chỗ mà em cho là sai.

Theo em, với những giá trị nào của biến thì có thể tính được giá trị của phân thức đã cho bằng cách tính giá trị của phân thức rút gọn?

Cho phân thức \(\dfrac{{3{x^2} + 6x + 12}}{{{x^3} - 8}}\).

a) Với điều kiện nào của \(x\) thì giá trị của phân thức được xác định?

b) Rút gọn phân thức.

c) Em có biết trên \(1c{m^2}\) bề mặt da của em có bao nhiêu con vi khuẩn không?

Tính giá trị của biểu thức đã cho tại \(x = \dfrac{{4001}}{{2000}}\) em sẽ tìm được câu trả lời thật đáng sợ. (Tuy nhiên trong số đó chỉ có \(20\% \) là vi khuẩn có hại).

Bài 2. Rút gọn biểu thức: \(  P = \left( {{{{x^2}} \over {{y^2}}} + {y \over x}} \right):\left( {{x \over {{y^2}}} - {1 \over y} + {1 \over x}} \right).\)   

Bài 3. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức sau nhận giá trị nguyên:

\(  P = {3 \over {x + 1}}.\)   

Bài 2. Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức \(  {{{x^2} + 4x + 4} \over {x - 2}}\)   bằng 0.

Bài 3. Rút gọn biểu thức : \(  \left( {{{2a} \over {2a + b}} - {{4{a^2}} \over {4{a^2} + 4ab + {b^2}}}} \right):\left( {{{2a} \over {4{a^2} - {b^2}}} + {1 \over {b - 2a}}} \right)\)   .

Bài 1. Rút gọn và tính giá trị của biểu thức: \(  P = {{8{a^2}} \over {{a^3} - 1}} + {{a + 1} \over {{a^2} + a + 1}},\)   với \(  a = 2.\)   

Bài 2. Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức \(  {{3x - 2} \over {1 - {3 \over {x + 2}}}}\)   xác định.

Bài 3. Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức \(  Q = {{1 + {x^2} + {1 \over x}} \over {2 + {1 \over x}}}\)   bằng 1.

Bài 1. Rút gọn và tính giá trị của biểu thức: \(  P = \left( {{{a + 6} \over {3a + 9}} - {1 \over {a + 3}}} \right):{{a + 2} \over {27a}},\)   với \(  a = 1.\)   

Bài 2. Tìm các giá trị nguyên của x để cho giá trị của phân thức sau là số nguyên: \(  Q = {{{x^2} - 3x + 3} \over {x - 1}}.\)   

Bài 3. Tìm x để giá trị của phân thức sau bằng 0: \(  {{{x^2} - 4} \over {{x^2} - 3x + 2}}.\)   

Bài 1. Rút gọn và tính giá trị của biểu thức: \(  P = {{8{a^2}} \over {{a^3} - 1}} + {{a + 1} \over {{a^2} + a + 1}},\)   với \(  a = 2.\)   

Bài 2. Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức \(  {{3x - 2} \over {1 - {3 \over {x + 2}}}}\)   xác định.

Bài 3. Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức \(  Q = {{1 + {x^2} + {1 \over x}} \over {2 + {1 \over x}}}\)   bằng 1.