Giả sử \(∆ABC\) có \(AD\) là đường trung tuyến ứng với \(BC\) và \(AD = \dfrac{1}{2}BC\).
\( \Rightarrow AD = BD = DC\).
Hay \(∆ADC, ∆ADB\) cùng cân tại \(D\). Do đó:
\(\left. {\matrix{ {\widehat {{A_1}} = \widehat {{C_1}}} \cr {\widehat {{A_2}} = \widehat {{B_1}}} \cr } } \right\} \Rightarrow \widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}}\)
Mà \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} + \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} = {180^o}\) (Theo định lí tổng ba góc trong \(∆ABC\))
\( \Rightarrow \) \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = {90^o}\)
Hay \(∆ABC\) vuông tại \(A.\)
Áp dụng
- Vẽ đường tròn \((A;r)\); \(r > \dfrac{{AB}}{2}\); vẽ đường tròn \((B, r)\)
- Gọi \(C\) là giao điểm của \(2\) cung tròn nằm ở phía trong tờ giấy.
- Trên tia \(BC\) lấy \(D\) sao cho \(BC = CD\) \( \Rightarrow AB ⊥ AD.\)
Thật vậy: \(∆ABD\) có \(AC\) là trung tuyến ứng với \(BD\) (\(BD = CD\)) và \(AC = BC = CD\) (theo cách vẽ).
\( \Rightarrow AC = \dfrac{1}{2} BD\)
\( \Rightarrow ∆ ABD\) vuông tại \(A.\)
