Ta có: \(\widehat {A{\rm{D}}B} = \widehat {A{\rm{E}}B}\) (1) (cùng chắn cung \(AB\))
\(\widehat {DBC} + \widehat {ADB} = {90^0}\) (2) (do tam giác BDK vuông tại K)
\(\widehat {AEB} + \widehat {CAE} = {90^0}\) (3) (do tam giác AIE vuông tại I)
Từ (1), (2), (3) \( \Rightarrow \widehat {CB{\rm{D}}} = \widehat {CA{\rm{E}}}\) (cùng phụ với hai góc bằng nhau)
Có \(\widehat {CBD}\) là góc nội tiếp chắn cung CD
\(\widehat {EAC}\) là góc nội tiếp chắn cung CE
⇒ \(sđ\overparen{CD}\)= \(sđ\overparen{CE}\)
Suy ra \(CD = CE\)
b) Ta có \(\widehat {EBC}\) và \(\widehat {CB{\rm{D}}}\) là góc nội tiếp trong đường tròn \(O\) nên :
\(\widehat {EBC} = {1 \over 2} sđ\overparen{CE}\) và \(\widehat {CB{\rm{D}}} = {1 \over 2}sđ\overparen{CD}\)
Mà \(sđ\overparen{CD}\)= \(sđ\overparen{CE}\)
nên \(\widehat {EBC} = \widehat {CB{\rm{D}}}\) suy ra BK là phân giác góc HBD.
Lại có BK vuông góc với HC (giả thiết H là trực tâm của tam giác ABC). Suy ra BK vừa là đường cao vừa là đường phân giác của tam giác HBD nên \(∆BHD\) cân tại \(B\)
c) Vì \(∆BHD\) cân và \(BK\) là đường cao cũng là đường trung trực của \(HD\). Điểm \(C\) nằm trên đường trung trực của \(HD\) nên \(CH = CD\)
