Giả sử \(IM, IN\) là hai đường trung trực của \(AB, AC.\)
Ta có:
\( AB{\rm{ }} = {\rm{ }}AC\) (vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\)) (1)
\(\displaystyle AM = {1 \over 2}AB\) (vì \(IM\) là trung trực của \(AB\)) (2)
\( \displaystyle AN = {1 \over 2}AC\) (vì \(IN\) là trung trực của \(AC\)) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(AM = AN\).
Xét hai tam giác vuông \(AMI\) và \(ANI\) có:
\(\widehat {AMI} = \widehat {ANI} = 90^\circ \)
\(AM = AN \) (chứng minh trên)
\(AI\) cạnh chung
\( \Rightarrow ∆AMI = ∆ANI\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
\( \Rightarrow \widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\) (hai góc tương ứng).
Vậy \(AI\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\).
