Bài tập ôn chương 3 - Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác. Các đường đồng quy trong tam giác

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có \(AB < AC.\) Trên tia đối của tia \(BC\) lấy điểm \(M\) sao cho \(BM = BA.\) Trên tia đối của tia \(CB\) lấy điểm \(N\) sao cho \(CN = CA.\)

a) Hãy so sánh các góc \(AMB\) và \(ANC.\)

b) Hãy so sánh các độ dài \(AM\) và \(AN.\)

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có \(AB < AC,\) đường cao \(AH.\) Chứng minh rằng: 

\(HB < HC, \) \(\widehat {HAB} < \widehat {HAC}\) (xét hai trường hợp: \(\widehat B\) nhọn và \(\widehat B\) tù).

Đề bài

Có thể vẽ được mấy tam giác (phân biệt) với ba cạnh là ba trong năm đoạn thẳng có độ dài \(1cm, 2cm, 3cm, 4cm, 5cm.\) 

Đề bài

Cho bốn điểm \(A, B, C, D\) như trên hình 18. Hãy tìm một điểm \(M\) sao cho tổng \(MA + MB + MC + MD\) là nhỏ nhất. 

                       Hình 18

Đề bài

Cho hình 19 trong đó \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC.\) Chứng minh rằng:

a) \({S_{AGC}} = 2{{\rm{S}}_{GMC}}\)

b) \({S_{GMB}} = {S_{GMC}}\)

c) \({S_{AGB}} = {S_{AGC}} = {S_{BGC}}\) 

Đề bài

Cho góc \(xOy\) khác góc bẹt, điểm \(A\) thuộc cạnh \(Ox,\) điểm \(B\) thuộc cạnh \(Oy.\)

a) Hãy tìm điểm \(M\) nằm trong góc \(xOy,\) cách đều \(Ox, Oy\) và cách đều \(A, B.\)

b) Nếu \(OA = OB\) thì có bao nhiêu điểm \(M\) thỏa mãn các điều kiện trong câu a? 

Đề bài

Cho góc \(xOy\) khác góc bẹt. Dùng một chiếc thước thẳng có chia khoảng, hãy nêu cách vẽ tia phân giác của góc \(xOy.\) 

Đề bài

Cho hình 20 trong đó giao điểm \(O\) của hai đường thẳng \(a\) và \(b\) nằm ngoài phạm vi tờ giấy. Chỉ vẽ hình trong phạm vi tờ giấy, hãy vẽ đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) sao cho đường thẳng \(d\) cũng đi qua \(O\) nếu kéo dài đường thẳng \(d\) ra ngoài phạm vi tờ giấy. 

Đề bài

Đường trung trực \(d\) của đoạn thẳng \(AB\) chia mặt phẳng thành hai phần (không kể đường thẳng \(d):\) phần chứa điểm \(A\) ký hiệu là \({P_A}\), phần chứa điểm \(B\) ký hiệu là \({P_B}\) (h.21)

a) Gọi \(M\) là một điểm của \({P_A}\). Chứng minh rằng \(MA < MB.\)

b) Gọi \(N\) là một điểm của \({P_B}\). Chứng minh rằng \(NB < NA.\) 

c) Gọi \(K\) là một điểm sao cho \(KA < KB.\) Hỏi rằng \(K\) nằm ở đâu trong \({P_A}\),\({P_B}\) hay trên \(d?\)

Đề bài

Cho tam giác \(ABC,\) các đường phân giác của góc ngoài tại \(B\) và \(C\) cắt nhau ở \(E.\) Gọi \(G, H, K\) theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ \(E\) đến các đường thẳng \(BC, AB, AC.\)

a) Có nhận xét gì về các độ dài \(EH, EG, EK.\)

b) Chứng minh \(AE\) là tia phân giác của góc \(BAC.\)

c) Đường phân giác của góc ngoài tại \(A\) của tam giác \(ABC\) cắt đường thẳng \(BE, CE\) tại \(D, F.\) Chứng minh rằng \(AE\) vuông góc với \(DF.\) 

d) Các đường thẳng \(AE, BF, CD\) là các đường gì trong tam giác \(ABC?\)

e) Các đường thẳng \(AE, FB, DC\) là các đường gì trong tam giác \(DEF?\)

Bài III.1

Chứng minh rằng trong một tam giác, đường cao không lớn hơn đường trung tuyến xuất phát từ một đỉnh.

Bài III.5

Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(C.\) Kẻ các đường cao \({\rm{A}}{{\rm{A}}_1}\) và \(B{B_1}\) của tam giác đó. Hai đường cao này cắt nhau tại \(M.\) Chứng minh rằng đường thẳng \(MC\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB.\)