Bài tập ôn tập chương 5: Đạo hàm

Đề bài

Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

a) \(y = x{\cot ^2}x\) ;

b) \(y = {{\sin \sqrt x } \over {\cos 3x}}\) ;

c) \(y = {\left( {\sin 2x + 8} \right)^3}\) ;

d) \(y = \left( {2{x^3} - 5} \right)\tan x.\)

Đề bài

Giải phương trình \(f'\left( x \right) = g\left( x \right),\) biết rằng

a) \(f\left( x \right) = {{1 - \cos 3x} \over 3};g\left( x \right) = \left( {\cos 6x - 1} \right)\cot 3x.\)

b) \(f\left( x \right) = {1 \over 2}\cos 2x;g\left( x \right) = 1 - {\left( {\cos 3x + \sin 3x} \right)^2}.\)

c) \(f\left( x \right) = {1 \over 2}\sin 2x + 5\cos x;g\left( x \right) = 3{\sin ^2}x + {3 \over {1 + {{\tan }^2}x}}.\)

Đề bài

Tìm đạo hàm của hàm số tại điểm đã chỉ ra :

a) \(f\left( x \right) = {{\sqrt {x + 1} } \over {\sqrt {x + 1}  + 1}},\,\,f'\left( 0 \right) = ?\)

b) \(y = {\left( {4x + 5} \right)^2},\,y'\left( 0 \right) = ?\)

c) \(g\left( x \right) = \sin 4x\cos 4x,\,g'\left( {{\pi  \over 3}} \right) = ?\)

Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \tan x\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = {\pi  \over 4}.\)

Trên đường cong \(y = 4{x^2} - 6x + 3,\) hãy tìm điểm tại đó tiếp tuyến song song với đường thẳng \(y = 2x.\)

Đồ thị hàm số \(y = {1 \over {\sqrt 3 }}\sin 3x\) cắt trục hoành tại gốc toạ độ dưới một góc bao nhiêu độ (góc giữa trục hoành và tiếp tuyến của đồ thị tại giao điểm) ?

Cho hàm số

\(f\left( x \right) = {x^3} + b{x^2} + cx + d\) ;    (C)

\(g\left( x \right) = {x^2} - 3x - 1.\)

a) Xác định b, c, d sao cho đồ thị (C) đi qua các điểm \(\left( {1;3} \right),\left( { - 1; - 3} \right)\) và \(f'\left( {{1 \over 3}} \right) = {5 \over 3}\) ;

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 1\) ;

c) Giải phương trình \(f'\left( {\sin t} \right) = 3\) ;

d) Giải phương trình \(f''\left( {\cos t} \right) = g'\left( {\sin t} \right)\) ;

e) Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} {{f''\left( {\sin 5z} \right) + 2} \over {g'\left( {\sin 3z} \right) + 3}}.\)

Chứng minh rằng nếu hàm số \(f\left( z \right)\) có đạo hàm đến cấp n thì

\(\left[ {f\left( {ax + b} \right)} \right]_x^{\left( n \right)} = {a^n}f_z^{\left( n \right)}\left( {ax + b} \right).\)